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Jaqueline
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Januar, 2001 - 12:38: | 
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In einem Dreieck ABC sind P (Strecke AB), Q (Strecke BC), und R (Strecke AC) die Mittelpunkte der Dreieckseiten. Ferner gilt g ist parallel zu h und h ist parallel zu k.
Die erste Gerade g schneidet die Strecke CB, CP, und CA. Die Gerade h schneidet die Strecke
CB, CP in S und geht durch A. Die Gerade k schneidet die Strecke CB und geht durch P.
Beweise: SC zu SP =2
Gilt entsprechend auch SA zu SQ =2
Beweise: Die Dreiecke APS, BSP, BQS, CSQ, CRS und ASR besitzen alle denselben Flächeninhalt. |
IQzero
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Januar, 2001 - 17:17: |
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Hi Jaqueline!
Ich gehe einmal davon aus, dass h durch A und Q verläuft, dass g durch R verläuft und dass k durch P verläuft, da ich sonst nichts zeigen kann.
Statt 'zu' schreibe ich / (also geteilt, das ist eh das selbe)
Sei U der Schnittpunkt von g und CB.
Sei T der Schnittpunkt von k und CB.
Wenn AC und CB die beiden Strahlen und g und h die geschnittenen Parallelen sind, dann gilt nach dem ersten Strahlensatz:
|CR| / |RA| = |CU| / |UQ|
da |CR| = |RA| => |CU| = |UQ|
Wenn jetzt BC und BA die beiden Strahlen und k und h die beiden geschnittenen Parallelen sind, dann gilt wieder nach dem ersten Strahlensatz:
|AP| / |PB| = |QT| / |TB|
da |AP| = |PB| => |QT| = |TB|
weil aber ausserdem |CQ| = |QB| ist
muss |CU| = |UQ| = |QT| = |TB| sein.
d.h.: Strecke CB wird von den Geraden g, h und k in vier gleich grosse Teile eingeteilt!!!
Jetzt ist es dann auch kein Problem mehr wegen des ersten Strahlensatzes einzusehen, dass
|CS| / |SP| = |CQ| / |QT| = 2 / 1 = 2 ist.
Analog lasst sich auch zeigen, dass
|AS| / |SQ| = 2 ist.
Dazu musst Du das Dreick noch einmal neu zeichnen und darin die Strecke AQ sowie eine Gerade durch C und P, eine zweite parallel dazu durch Q, sowie eine dritte parallel dazu durch R.
Un zu zeigen, dass die Dreicke APS und PBS die gleich Fläche haben, zeichnest Du (am besten in eine neue Skizze) eine Parallele zu AB durch S. Dann zeichnest Du eine Senkrechte zu AB durch P. Wo die Senkrechte und die Parallele sich schneiden sei S'. Die neuen Dreiecke APS' und PBS' sind offensichlich gleich gross, da sie kongruent sind. (Spiegelung an der Senkrechten!)
Das Dreieck APS' ist durch Scherung aus dem Dreick APS entstanden, daher sind auch ihre Flächen gleich. Aus dem Gleichen Grund sind die Flächen von PBS' und PBS gleich. Also müssen auch die Flächen von APS und PBS gleich sein.
Analog kannst Du es auch mit den anderen Dreiecken machen.
Ich hoffe Du kannst alles nachvollziehen, sonst kannst Du auch gerne noch einmal nachfragen. |
Jaqueline
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Januar, 2001 - 10:18: |
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Danke! Druck mir das gleich aus! |
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