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Xeres
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. Dezember, 2000 - 21:30: | 
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Kann mir bitte jemand helfen?
ln(x²-6x+5)-ln(x-7/2)-ln(2) <= 0
Gesucht Lösungsmenge x. |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. Dezember, 2000 - 22:15: |
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Hallo Xeres,
man kann die Exponentialfunktion auf beide Seiten anwenden. Außerdem ist x²-6x+5 = (x-5)*(x-1).
Bevor ich das aber tun kann, muß ich mir den Definitionsbereich ansehen.
Der Logatithmus ist nur für positive Werte definiert.
x-7/2 ist positiv für xe]7/2,¥[
(x-5)*(x-1) ist positiv für xe]-¥,1[ oder xe]5,¥[
Die Schnittmenge ist der Definitionsbereich, also xe]5,¥[.
Die Lösungsmenge eine Teilmenge des Definitionsbereichs.
Nun wende ich die Exponentialfunktion auf beide Seiten an und forme gleich ein wenig um (Potenzrechenregeln):
eln(x²-6x+5)-ln(x-7/2)-ln(2) = e0
<=> eln(x-1)+ln(x-5)-ln(x-7/2)-ln(2) = e0
<=> eln(x-1)*eln(x-5)/[eln(x-7/2)*eln2] = 1
<=> (x-1)*(x-5)/[2*(x-7/2)] = 1
<=> (x-1)*(x-5) = 2x - 7
Das kann man lösen, nicht wahr!
Die Nullstellen der quadratischen Gleichung sind 2 und 6.
Unter Beachtung des Definitionsbereichs ist also x=6 die einzige Lösung.
Gruß
Matroid |
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