| Autor |
Beitrag |
    
Jeanine (jeanine)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: jeanine
Nummer des Beitrags: 81
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Juni, 2002 - 10:20: | 
|
1. Gegeben seien zwei Umgebungen:
U1(a1) mit U1=2 und a1=-3/2 und U2(a2) mit U=5/4 und a2=3/4
a) Geben sie die Mengen- und Intervallschreibweise für diese beiden Umgebungen an.
b) Bilden Sie den Durchschnitt dieser beiden Umgebungen, Angabe in Mengen und Intervallschreibweise.
d) Ist der Durschnitt wieder eine Umgebung
2.Betrachten Sie die Summe s-n= 2+4+6+....+2*n, n íst Element von natürlichen Zahlen, d.h. die Summe der ersten n geraden Zahlen.
a) Berechnen Sie s1,s2,s3,... so lange, bis Sie einen allgemein gültigen Ausdruck für s-n vermuten können.
b)Beweisen Sie diese Vermutung durch vollständige Induktion. |
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Juni, 2002 - 14:16: |
|
1a)
I1=(-3,5; 0,5)
Mengenschreibweise sollte klar sein:
M1={x aus IR| x Element (-3,5;0,5)}
oder
M1={x aus IR| -3,5<x<0,5}
I2=(-0,5;2)
M2={x aus IR| -0,5<x<2}
b) I1 geschn. I2=[-0,5;0,5]=:S
M3={x aus IR | x Element -0,5 <=x<=0,5}
d) nein, denn für x=0,5 gilt für alle epsilon>0, dass (0,5+epsilon) nicht in S liegt!
2.
a) spar ich mir!
b) Man bilde s(n)+s(n)=2*s(n) folgendermaßen:
s(n)=2 + 4 + 6+...+2n
s(n)=2n+(2n-2)+...+ +2
---------------------------
2*s(n)=n*(2n+2)
<->
s(n)=n*(n+1)=n²+n
Oder man mache den Induktionsbeweis zu folgender Behauptung:
s(n)=n²+n
Beweis:
n=1 -> s(2)=2 und 1²+1=2, also gilt die Behauptung für n=1.
n->n+1:
s(n+1)=s(n)+2*(n+1)=s(n)+(2n+2)
=> mit Induktionsvoraussetzung s(n)=n²+n
s(n+1)=n²+n+2n+2=n²+3n+2
Es bleibt zu zeigen:
n²+3n+2=(n+1)²+(n+1)
Es gilt:
(n+1)²+(n+1)=n²+2n+1+n+1=n²+3n+2
=> Behauptung !
Mit freundlichen Grüssen
M. |
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Juni, 2002 - 14:23: |
|
Kleine Anmerkung,
ich habe für die erste Aufgabe angenommen, dass es sich nur um die Umgebung reeller Zahlen handelt. Im Komplexen bzw. im IR^n sieht das anders aus. Aber hier steht ja Klasse 8-10, deshalb denke ich, dass ihr nur Umgebung reeller Zahlen betrachtet.
I=(x1,x2) bedeutet in anderer Schreibweise
I=]x1,x2[:={x aus IR| x1<x<x2}
Mit freundlichen Grüssen
M. |
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Juni, 2002 - 16:50: |
|
Hallo nochmal,
mir ist gerade ein Fehler bei d) aufgefallen:
(I1 geschnitten I2)= (-0,5; 0,5)
(nicht! [-0,5;0,5])
Damit ist I1 geschn. I2 wieder eine Umgebung mit a3=0 und U3=0,5.
Korrigiere das bitte!
Mit freundlichen Grüssen
M. |
|
