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Beitrag |
    
Seel Tobias (nobrain)
Neues Mitglied
Benutzername: nobrain
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Juni, 2002 - 13:04: | 
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Hi!! Wer kann mir helfen?? Ich komme einfach nicht drauf!! Ich habe die zwei Formeln zur Verfügung: d=wurzel a²+b² und d= a*wurzel 2
1.0 Eine Menge von Rechtecken hat denselben Umfang u=20cm.
1.1 Bestimme das Rechteck mit den Kürzesten Diagonalen.
1.2 Hat dieses Rechteck auch einen extremen Flächeninhalt.
CYA NoBrain |
Flo
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Juni, 2002 - 13:47: |
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1.0
Umfang = 2*a + 2*b = 20
20 = 2*(a + b)
10 = a + b ; a > 0 und b > 0
1.1
Ein Rechteck mit den kürzesten Diagonalen ist ein Quadrat.
Es hat die Seitenlänge 5cm:
a + b = 10. Im Quadrat sind alle Seiten gleich lang, also gilt: a=b
a + a = 10cm
2a = 10cm
a = 5cm
Diagonalen:
Hier brauchst du die Formel d=a*Wurzel 2
d = 5cm * Wurzel 2
d = 7,07cm
1.2
Ein Quadrat hat den grössten Flächeninhalt bei diesem Umfang. Ein Quadrat hat bei gleichbleibendem Umfang immer den grössten Flächeninhalt aller Rechtecke.
Hier ist die Fläche 25cm² (5cm * 5cm)
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nobrain (nobrain)
Junior Mitglied
Benutzername: nobrain
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Juni, 2002 - 13:53: |
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Hey Flo!!
Danke für deine Hilfe ich bin da einfach nicht drauf gekommen!!
CYA Nobrain
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Fabi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Juni, 2002 - 14:41: |
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Hi Flo, Nobrain
Du stellst da zwei Behauptungen auf, die du nicht bewiesen hast. Es ist zwar relativ offensichtlich, dass es so ist, aber gerade beim ersten wäre ein Beweis angebracht:
d=sqrt(a²+b²)
b = 10-a
d = sqrt(2a²-20a+100)
d² 2a²-20a+100
2a²-20a+100 ist immer größer null, deshalb ist d genau dann am größten, wenn d² am größten ist.
Du hast eine Funktion
d² = 2a²-20a+100
Und bestimmst den niedrigsten Punkt (Scheitel!). Das ist die Seitenlänge für die minimale Diagonalenlänge, und die ist eben gleich 5.
Und d ist dann 5sqrt2.
Zweiter Beweis: Ein Rechteck habe den Umfang 2(a+b) mit b<a und b=a-n
Umfang: 2(2a-n) = 4a-2n
Fläche: a(a-n) = a²-an
Jetzt wandeln wir das ganze in ein Quadrat desselben Umfangs um:
s = (4a-2n)/4 = a-n/2
F = (a-n/2)² = a²-an+n²/4
Damit ist der Flächeninhalt des Quadrats für alle n ungleich 0 größer als der eines umfangsgleichen Rechtecks, nämlöich um den Faktor n²/4.
Gruß
Fabi |
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