    
Jeanine (jeanine)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: jeanine
Nummer des Beitrags: 71
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 08. Juni, 2002 - 14:58: | 
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1. Wie kann man aus der Dezimaldarstellung einer reelen Zahl entnehmen, ob sie rational oder irrational ist?
2. Gegeben seien zwei Umgebungen:
U1(a1) mit U1=2 und a1=-3/2 und U2(a2) mit U=5/4 und a2=3/4
a) Geben sie die Mengen- und Intervallschreibweise für diese beiden Umgebungen an.
b) Bilden Sie den Durchschnitt dieser beiden Umgebungen, Angabe in Mengen und Intervallschreibweise.
d) Ist der Durschnitt wieder eine Umgebung?
3. Betrachten Sie die Summe Sn=2+4+6+.....+2*n Element von N*, d.h. die Summe der ersten n geraden Zahlen.
a) Berechenen Sie S1, S2, S3,.... so lange, bis Sie einen allgemein gültigen Ausdruck für Sn vermuten können.
b) Beweisen Sie diese Vermutung durch vollständige Induktion. |
skimble (old_deutoronomy)
Neues Mitglied
Benutzername: old_deutoronomy
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Juni, 2002 - 07:07: |
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Hallo!
Lösung zu 1:
Rationale Zahlen sind in Dezimaldarstellung entweder endlich (abbrechend) oder periodisch, irrationale Zahlen sind weder abbrechend noch periodisch.
Lösung zu 3:
Die Summenbildung kannst du alleine.
Allgemein gilt:
Summe der ersten natürlichen geraden Zahlen = Summe der ersten 2n = (n^2+n)
Beweis:
Induktionsanfang:
Für n=1 gilt 2*n=2*1=2.
n^2+n=1^2+1=1+1=2.
Erledigt.
Induktionsannahme: Behauptung gilt für n
Induktionsschritt: n -> n+1
Summe von 2(n+1)=Summe von 2n+2(n+1)=
(n^2+n)+2(n+1) [nach Induktionsvoraussetzung]
=n^2+n+2n+2
=n^2+2n+1+n+1
=(n+1)^2+(n+1).
Damit wäre der Bewis erledigt.
Induktionsanfang |
