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Beitrag |
    
Gabi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. Mai, 2002 - 11:39: | 
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Ich kann machen, was ich will, aber ich verstehe die Methode der quadratischen Ergänzung nicht. Wer kann mir helfen? |
thuriferar783
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. Mai, 2002 - 12:40: |
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Ich erkläre dir das am Besten an einem Beispiel:
f(x) = 2x^2+8x-10
Zumeist sollst du ja die Funktion gleich Null setzen und die x berechnen, für die f Null wird oder den Scheitelpunkt der Parabel angeben.
Ziel des Verfahrens der quadratischen Ergänzung ist es, ein 1. oder 2. Binom herzustellen.
Hierzu betrachtest du erst einmal das x^2: Hast du da einen Vorfaktor stehen, klammere ihn erst mal aus:
2(x^2+4x-5) = 0
Danach schauen wir uns das x^2 sowie das lineare Glied 4x an. Erinnerst du dich an die Formel der ersten beiden Binome? Ad memoriam:
(a+b)^2 =a^2 + 2ab + b^2.
Das a^2 ist in unserem Fall das x^2, das 2ab ist 4x. Wie kommen wir nun an das b^2? Der Zusammenhang ist doch offensichtlich. Schau dir das 2ab. An b kommst du doch heran, indem du 2ab durch 2a dividierst. In unserem Beispiel musst du also 4x durch 2x dividieren und es kommt 2 heraus., also b=2. Da du aber b^2 haben willst, musst du noch quadrieren: 2^2=4.
Nun addierst du zu obigem Term einmal die 4 und subtrahierst sie wieder, damit du den Term nicht veränderst - in der Summe kommt ja Null heraus: +4-4=0. Also:
2(x^2+4x+4-4-5) = 0
Nun fomst du das ganze ein wenig um: die ersten drei Summanden fasst du zu einem Binom zusammen:
2[(x^2+4x+4)-4-5] = 0
2[(x+2)^2-9] = 0. (*)
Wenn du nun die Nullstellen berechnen musst, formst du die Gleichung (*) zu einem dritten Binom um. Zur Erinnerung:
a^2-b^2 = (a+b)(a-b)
Bei uns ist a^2 = (x+2)^2 und b^2 = 9. Beachte, dass die folgende Umformung nur möglich ist, da vor der 9 ein Minuszeichen steht! Man erhält aus (*):
2[(x+2-3)(x+2+3)]=0
2(x-1)(x+5) = 0.
Dieses Produkt wird 0, wenn x=1 oder x=-5 ist.
Falls du den Scheitelpunkt der Parabel berechnen musst, geh zurück zur Gleichung (*) und multiplizier wieder den Vorfaktor rein:
2(x+2)^2-18 = 0.
Die x-Koordinate des Scheitelpunkts ist dann die Zahl in der Klammer mit dem anderen Vorzeichen, die y-Koordinate die Zahl hinter der Klammer mit unverändertem Vorzeichen, hier also S(-2/-18).
Ich hoffe, dir ein wenig weiter geholfen zu haben.
Gruß, Oli. |
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