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Milena (Cocacola)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. November, 2000 - 15:09: | 
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r= Randpunkte
i= innere Punkte
A(r,i)=i+1/2-1
1) Für welche funktioniert diese Formel, für welche nicht?
2) Warum gilt diese Formel? (Beweis!)
Wäre euch sehr dankbar für eine Lösung dieses Problems oder wenigstens einen Lösungsansatz, der mich weiterbringen könnte! |
Milena (Cocacola)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. November, 2000 - 15:57: |
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Hab in der Formel was falsches geschrieben. Richtig:
A(r,i)=i+(r:2)-1 |
Leo (Leo)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. November, 2000 - 20:35: |
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Hallo Milena,
Es wäre nett von Dir, was diese Formel beinhaltet (was haben i und r als Werte für eine Bedeutung?)
Eine Formel von "Pick" ist mir nicht bekannt und nirgends zu finden. Wenn Du also den Zusammenhang etwas näher erklären könntest, kann ich Dir weiterhelfen. |
Milena (Cocacola)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. November, 2000 - 15:06: |
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Ich hab jetzt schon was auf dem Internet gefunden, leider aber nur auf englisch. Und das ganze ist ein bisschen komliziert, vielleicht kannst du dir diese Seite selber mal anschauen
http://www.mcs.drexel.edu/~crorres/Archimedes/Stomachion/Pick.html |
Leo (Leo)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. November, 2000 - 22:27: |
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Hallo Milena,
ich habe mir die Seite angeschaut, es ist alles ganz hübsch, nur enthält sie neben der Formel leider keinen Beweis. Du kannst es so probieren, daß Du zuerst ein simples Quadrat nimmst (4 äußere Punkte), dessen Fläche tatsächlich 0 + 4/2 -1 = 1 ist. Dann fügst Du einfach neue Punkte ein oder erweiterst Deine Fläche systematisch.
Bzw. nein. Du nimmst die Grundformen Rechteck und Dreieck. Zeige, daß für beide einfache Formen die Formel gilt , und schließe daraus, dass es für alle A gilt, denn diese sind nichts anderes als Summen von Rechtecken und Dreiecken.
Vielleicht fällt mir ja noch was Besseres ein. |
Leo (Leo)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. November, 2000 - 08:21: |
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Hallo Milena, ich habe gestern etwas Konkreteres
heraus getüftelt. Man muß drei Geometrische Formen betrachten: a)Rechtecke, die auch Quadrate enthalten, b)allgemeine Dreiecke und c)gleichschenklig,rechtwinklige Dreiecke.
für a) sieht man durch abzählen ziemlich leich ein
(c und d sind die Seitenlängen)
1)a = (c+1)*2 + (d-1)*2 = 2*c+2*d
2)i = (c+1)*(d+1)-2*(c+1)-2*(d-1) = cd-c-d+1
Jetzt kann ich 2) umformen: cd = i+c+d-1
aus 1) gilt c+d=a/2 =>
eingesetzt in die vorletzte Zeile ergibt:
cd = i + a/2 -1
Für Rechtecke und Quadrate gilt also schon mal die Formel von Pick. Kriegst Du es für für den Fall b) und c) selbst hin?
Wenn nicht, frag einfach nochmal.
Tschüss |
Milena (Cocacola)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. November, 2000 - 12:19: |
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Hallo Leo
Versuchs mal zu verstehen, vielen dank dass du dir so viele Mühe machst. Ich hätte da aber jetzt doch noch eine Frage, denn diese Formel gilt nicht für alle n-Ecke. Wie ich herausgefunden habe, zum Beispiel bei einem das sich irgendinem Punkt schneidet. Weisst du ob es da noch andere gibt?
Milena |
leo
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. November, 2000 - 18:23: |
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Mehr Fälle gibt es offenbar nicht. Die Punkte, die geschnitten werden, werden Fälschlicherweise dazugezählt.Wenn ich genaueres herausfinde, melde ich mich nochmal. |
Milena (Cocacola)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. November, 2000 - 19:32: |
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Also ich hab mir die Sache jetzt mal genauer angeschaut. Wie bist du denn auf die Idee gekommen? Ich konnte jetzt gerade noch so halbwegs nachvollziehen, wie du auf diesen Beweis gekommen bist, aber mit b) und c) hab ich nicht die geringste Ahnung, wie ich das jetzt noch beweisen soll.
Milena |
Leo (Leo)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. November, 2000 - 23:18: |
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Da ich nicht so viel Zeit habe, das alles aufzuschreiben, damit es klar wird, denke ich, es wird einfacher sein, Du rufst mich mal an, dann erkläre ich es Dir. Wenn Du das willst, sag bescheid, dann gebe ich Dir meine Telefonnummer. Übrigens: Brauchst Du diese Formel für die Schule oder ist das Zeitvertreib? |
Milena (Cocacola)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. November, 2000 - 18:26: |
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Ich brauch sie für die Schule, freiwillig würde ich das bestimmt nicht machen! Aber weisst du wie teuer das wird, denn ich wohne in der Schweiz!?! Also ich versuchs jetzt selber nochmal. Und sonst geben ich eben nur die einfachere Variante an, mit dem simplen Quadrat, das du zuerst vorgeschlagen hast. |
Milena (Cocacola)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 25. November, 2000 - 20:01: |
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Also ich braueche jetzt die Formel für b)nicht mehr. Aber eine Frage habe ich trotzdem noch, denn du hast geschrieben, ich bräuchte die Formel b) und c) noch. Warum muss man denn ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck nehmen, denn jedes n-Eck kann man in verschiedene Dreiecke, wie bei b), zerlegen, auch ein ghleichschenkliges, rechtwinkliges. Warum sollte es dann sinnvoll sein, diese Formel auch noch aufzuschreiben?
Milena |
Milena (Cocacola)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 25. November, 2000 - 20:01: |
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Also ich brauche jetzt die Formel für b)nicht mehr. Aber eine Frage habe ich trotzdem noch, denn du hast geschrieben, ich bräuchte die Formel b) und c) noch. Warum muss man denn ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck nehmen, denn jedes n-Eck kann man in verschiedene Dreiecke, wie bei b), zerlegen, auch ein ghleichschenkliges, rechtwinkliges. Warum sollte es dann sinnvoll sein, diese Formel auch noch aufzuschreiben?
Milena |
Leo (Leo)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 25. November, 2000 - 21:28: |
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Die Anzahl der inneren und äußeren Punkte (in Abhängigkeit von den Seitenlängen) ist in einem gleichschenkligen Dreieck anders, weil auf der Diagonalen Punkte liegen, die dadurch keine inneren mehr,sondern äussere sind). Bei einem allgemeinen Dreieck ist das nicht der Fall. Also muß ich die Formel dafür noch mal extra zeigen, weil dies ein Sonderfall ist es sein könnte, daß für diesen Sonderfall die Formel nicht gilt |
Milena (Cocacola)
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. November, 2000 - 18:11: |
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Hallo Leo
Falls es dich interessiert, kann ich dir meine Arbeit über Pick's Theorem senden. Sag mir Bescheid wenn du interessiert bist.
Milena |
Leo (Leo)
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. November, 2000 - 20:50: |
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Selbstverständlich habe ich Interesse daran.
Ich hoffe, daß ich in irgendeiner Weise behilflich war.
Leo |
Milena (Cocacola)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. Dezember, 2000 - 19:21: |
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Ist das Mail überhaupt angekommen?
Milena |
Leo (Leo)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. Dezember, 2000 - 20:56: |
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Sorry, ich bilde mir ein, mich schon per mail bedankt zu haben. Wenn das tatsächlich nicht der Fall gewesen sein sollte, hole ich das jetzt natürlich nach. Es hat mir sehr gut gefallen , auch wenn ich nur einen kurzen Blick darauf geworfen habe. Wenn ich mal wieder richtig Zeit habe, werde ich es genauer lesen. Optisch ist es auf jeden Fall eine Augenweide. Ich hoffe , es ist bei Dir in der Schule bei Deinem Lehrer auch gut angekommen und daß es Dir wenigstens ein bißchen Spaß gemacht hat. Wie gesagt, es tut mir leid. Ich wünschte, ich hätte für solche Dinge mehr Zeit.... |
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