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Jaques
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. November, 2000 - 22:33: | 
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Kann mir jemand sagen oder ein Tip geben, wie ich diese Ungleichung lösen kann?
Betrag[ (x+3)/(2x-5) ] > 3
Danke schonmal
Jaques |
Fireangel (Fireangel)
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. November, 2000 - 18:30: |
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Das Problem bei Ungleichungen ist, das man das Zeichen > bzw. < umdrehen muss, wenn man durch einen negativen Faktor teilt oder mit einem negativen Faktor malnimmt.
Um diese Ungleichung zu lösen, müssen wir mit dem Faktor (2x-5) multiplizieren. Wir müssen also die Fälle unterscheiden, in denen dieser Faktor positiv bzw negativ ist.
Bei x > 2,5 ist der Faktor positiv, dort lautet die Lösung:
(x+3)/(2x-5) > 3 |*(2x-5)
x+3 > 6x-15 |-x; +15
18 > 5x |:5
3,6 > x
Also gibt es Lösungen für alle x mit:
3,6 > x > 2,5
Bei x < 2,5 ist der Faktor negativ, es gilt also hier:
x+3 < 6x-15 |-x; +15; :5
3,6 < x
3,6 < x und x < 2,5 ist ein Widerspruch, es gibt hier keine weiteren Lösungen.
Bis jetzt habe ich das ganze so betrachtet, als wäre dort kein Betrag. Der Betrag führt nun dazu, dass der linke Teil meiner Rechnung nicht nur größer als 3, sondern auch kleiner als -3 werden kann, um die Gleichung zu erfüllen.
Dazu muss er zunächst einmal überhaupt negativ werden. Dies geschieht nur, falls ENTWEDER Nenner ODER Zähler negativ ist, sind beide negativ, kürzt sich -1 heraus, so dass das Ganze positiv wird. Wenn x > 2,5 ist, sind beide Teile positiv;
Wenn x < -3 ist, sind beide Teile negativ.
Es interessiert uns also nur der Bereich zwischen -3 und 2,5. In diesem Bereich ist (2x-5) auf jeden Fall negativ, wir müssen also beim teilen wieder das Zeichen umdrehen. Es gilt:
(3+x)/(2x-5) < -3 |*(2x-5)
3+x > -6x+15 |+6x; -3
7x > 12 |:7
x > 12/7
Lösungen gibt es also hier für alle x mit
2,5 > x > 12/7
Fassen wir also alle möglichen Lösungen zusammen:
3,6 > x > 2,5
2,5 > x > 12/7
2,5 selber ist als Lösung nicht möglich, da wir im linken Teil sonst durch Null dividieren müssten.
Die korrekte Lösungsmenge ist also:
L={x € R / 3,6 > x > 12/7 \ x = 2,5}
gelesen:
Die Lösungsmenge beinhaltet alle x Element der reelen Zahlen mit der Eigenschaft 3,6 größer als x größer als 12/7 ohne 2,5
auf gut deutsch:
Lösung sind alle reelen Zahlen zwischen 12/7 und 3,6 mit Ausnahme von 2,5. |
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