| Autor |
Beitrag |
    
Jessygirl
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. April, 2002 - 09:35: | 
|
Diese Ungleichung bereitet mir Kopfzerbrehen:
(2x-8)/(x²+5x-6) <= 1/(x+2)
Wer kann mir den Lösungsweg zeigen. Vielen Dank schon. |
conny (conny)
Moderator
Benutzername: conny
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 03-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. April, 2002 - 11:43: |
|
Hi Jessygirl
Am einfachsten kannst du die Gleichung lösen, wenn du beide Seiten mit x+2 multiplizierst:
(2x-8)*(x+2)/(x²+5x-6)<=1
Jetzt kannst du beide Seiten mit x²+5x-6 multipliziern:
(2x-8)(x+2)<=x²+5x-6
Nun multiplizierst du die linke Seite der Gleichung aus:
2x²+4x-8x-16<=x²+5x-6
Jetzt kannst du alles zusammenfassen:
2x²-x²+4x-8x-5x-16+6<=0
x²-9x-10<=0
Jetzt musst du nur noch herausfinden wo diese Parabel die x-Achse schneidet:
x²-9x-10 = (x-10)*(x+1)
Dieses Produkt wird 0, wenn einer der Faktoren 0 ist: x1=10 x2=-1
Bei diesen beiden x-Werten hat die Parabel Nullstellen. Alle x-Werte zwischen diesen Nullstellen liegen unterhalb der x-Achse und erfüllen daher die Ungleichung.
Daher gilt für die Lösungsmenge:
-1<=x<=10
Ich hoffe du hast alles verstanden. Wenn nicht, schreib nochmal.
Conny |
Christian Schmidt (christian_s)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 177
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. April, 2002 - 13:06: |
|
Hi Jessygirl und Conny
Dein Ergebnis ist leider falsch. Du rechnest, als sei das eine ganz normale Gleichung und machst keine Fallunterscheidungen. Wenn du beispielsweise mit x+2 multiplizierst, musst du beachten, dass für x<-2 kleiner gleich zu größer gleich wird usw.
Als Ergebnis hab ich jetzt raus:
x<=-6
1<=x<10
Ich hoffe mal ich hab mich dabei net verrechnet.
MfG
C. Schmidt |
Xell
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. April, 2002 - 17:36: |
|
Hi Christian,
solve((2*x-8)/(x^2+5*x-6) <= 1/(x+2), {x});
{x < -6}, {-2 < x, x <= -1}, {x <= 10, 1 < x}
sagt maple.
mfg, X |
Christian Schmidt (christian_s)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 184
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. April, 2002 - 17:51: |
|
Hi Xell
Hab mein Ergebnis grad nochmal überprüft. Das von Maple stimmt natürlich, denn mir ist am Ende ein kleiner Rechenfehler unterlaufen und ausserdem hab ich den Definitionsbereich nicht beachtet.
MfG
C. Schmidt |
Jessygirl
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. April, 2002 - 18:20: |
|
Hallo an alle,
vielen Dank aber leider hat niemand den Lösungsweg gezeigt! |
er
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. April, 2002 - 01:01: |
|
Hi Jessygirl, hier kommt er:
(2x-8)/(x²+5x-6) <= 1/(x+2)
Ich würde vorschlagen, zunächst den Nenner auf der linken Seite zu faktorisieren:
x²+5x-6 = (x+6)*(x-1)
Dieser Nenner ist positiv, wenn
entweder x+6 > 0 und x-1 > 0
oder x+6 < 0 und x-1 < 0
ist
alsoentweder x > -6 und x > 1
oder x < -6 und x < 1
alsoentweder x > 1
oder x < -6
im Fall -6<x<1 ist er negativ.
der Nenner der rechten Seite, x+2, ist dann positiv, wenn x > -2 ist, bei x<-2 ist er negativ.
es gibt hier also drei kritische Stellen, an denen eine Fallunterscheidung sinnvoll ist:
x=-6, x=-2 und x=1
also Unterteilung in vier Intervalle:
a) x<-6
b) -6<x<-2
c) -2<x<1
d) 1<x
zunächst also
a) x < -6, hier ist x²+5x-6 positiv (s.o.) und da auch x<-2 gilt, ist x+2 negativ, also kehrt sich das Relationszeichen um, wenn mit *(x²+5x-6)*(x+2) multipliziert wird:
(2x-8)/(x²+5x-6) <= 1/(x+2) |*(x²+5x-6)*(x+2)
(2x-8)*(x+2) >= x²+5x-6
2x²+4x-8x-16 >= x²+5x-6 |-x²-5x+6
x² -9x - 10 >= 0
faktorisieren:
(x+1)(x-10) >= 0
also
entweder x+1>=0 und x-10>=0
oder x+1<=0 und x-10<=0
also
entweder x>=-1 und x>=10
oder x<=-1 und x<=10
also
entweder x>=10
oder x<=-1
zusammen mit der Bed. x < -6 ergibt das den Bereich
x<-6
für den die Ungleichung erfüllt ist.
b) -6<x<-2
hier ist x²+5x-6 negativ und x+2 negativ, also kehrt sich das Relationszeichen nicht um:
(2x-8)/(x²+5x-6) <= 1/(x+2) |*(x²+5x-6)*(x+2)
(2x-8)*(x+2) <= x²+5x-6
2x²+4x-8x-16 <= x²+5x-6
x²-9x -10 <= 0
faktorisieren:
(x+1)(x-10) <= 0
also
entweder x+1<=0>=0
oder x+1>=0 und x-10<=0
also
entweder x<=-1>=10
oder x>=-1 und x<=10
also
entweder (...)
oder -1 <= x <= 10
zusammen mit der Bed. -6<x<-2 ergibt dies hier keinen erlaubten Bereich für x.
c) -2<x<1, hier ist x²+5x-6 negativ und x+2 positiv, also kehrt sich das Relationszeichen um:
(2x-8)/[(x-6)(x+1)] <= 1/(x+2) |*(x²+5x-6)*(x+2)
(2x-8)*(x+2) >= x²+5x-6
2x²+4x-8x-16 >= x²+5x-6 |-x²-5x+6
x² -9x -10 >= 0
faktorisieren:
(x+1)(x-10) >= 0
also
also
entweder x+1>=0 und x-10>=0
oder x+1<=0 und x-10<=0
also
entweder x>=-1 und x>=10
oder x<=-1 und x<=10
also
entweder x>=10
oder x<=-1
zusammen mit der Bed. -2<x<1 ergibt dies hier den Bereich -2 < x <= -1
für den die Ungleichung erfüllt ist.
d) 1<x
hier ist x²+5x-6 positiv und x+2 positiv, also kehrt sich das Relationszeichen nicht um:
(2x-8)/(x²+5x-6) <= 1/(x+2) |*(x²+5x-6)*(x+2)
(2x-8)*(x+2) <= x²+5x-6
2x²+4x-8x-16 <= x²+5x-6
x² -9x -10 <= 0
faktorisieren:
x²-9x -10 <= 0
(x+1)(x-10) <= 0
also
entweder x+1>=0 und x-10<=0
oder x+1<=0>=0
also
entweder x>=-1 und x<=10
oder x<=-1>=10
also
entweder -1 <= x <=10
oder keinen weiteren Bereich
zusammen mit der Bed. 1<x ergibt sich hier:
1 < x <= 10
also ist die Ungleichung erfüllt, wenn eines von den folgenden a), c) oder d) zutrifft:
a) x < -6
c) -2 < x <= -1
d) 1 < x <= 10
|
er
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. April, 2002 - 21:56: |
|
Jessygirl
kommt noch eine Reaktion
oder ist alles falsch? |
er
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Mai, 2002 - 00:34: |
|
grmbl |
Rea
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. Mai, 2002 - 15:30: |
|
Hi Leute!
Ich komme bei den Gleichungen einfach nicht draus wer kann mir bei diesen Aufgaben helfen?
a) 5x +3= 3x +7 b) -0,1x=5 c) 1/3x + 1/2=3/2
Ich hoffe es kann mir jemand helfen vielen dank! |
fluffy
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. Mai, 2002 - 17:39: |
|
a)
5x + 3 = 3x + 7 | x auf eine Seite also - 3x
5x - 3x + 3 = 7 | Zahlen ohne x auf die andere Seite, also - 3
5x - 3x = 7 - 3 | beide Seiten ausrechnen
2x = 4 | jetzt willst Du wissen, was 1x ist, also geteilt durch 2
2x : 2 = 4:2
x = 2
Die anderen kannst Du bestimmt selber |
Nilh
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. Mai, 2002 - 19:05: |
|
linken Seite zu faktorisieren:
x²+5x-6 = (x+6)*(x-1)
Dieser Nenner ist positiv, wenn
entweder x+6 > 0 und x-1 > 0
oder x+6 < 0 und x-1 < 0
ist
also
entweder x > -6 und x > 1
oder x < -6 und x < 1
also
entweder x > 1
oder x < -6
im Fall -6<x<1 ist er negativ.
der Nenner der rechten Seite, x+2, ist dann positiv, wenn x > -2 ist, bei x<-2 ist er negativ.
es gibt hier also drei kritische Stellen, an denen eine Fallunterscheidung sinnvoll ist:
x=-6, x=-2 und x=1
also Unterteilung in vier Intervalle:
a) x<-6
b) -6<x<-2
c) -2<x<1
d) 1<x
zunächst also
a) x < -6, hier ist x²+5x-6 positiv (s.o.) und da auch x<-2 gilt, ist x+2 negativ, also kehrt sich das Relationszeichen um, wenn mit *(x²+5x-6)*(x+2) multipliziert wird:
(2x-8)/(x²+5x-6) <= 1/(x+2) |*(x²+5x-6)*(x+2)
(2x-8)*(x+2) >= x²+5x-6
2x²+4x-8x-16 >= x²+5x-6 |-x²-5x+6
x² -9x - 10 >= 0
faktorisieren:
(x+1)(x-10) >= 0
also
entweder x+1>=0 und x-10>=0
oder x+1<=0 und x-10<=0
also
entweder x>=-1 und x>=10
oder x<=-1 und x<=10
also
entweder x>=10
oder x<=-1
zusammen mit der Bed. x < -6 ergibt das den Bereich
x<-6
für den die Ungleichung erfüllt ist.
b) -6<x<-2
hier ist x²+5x-6 negativ und x+2 negativ, also kehrt sich das Relationszeichen nicht um:
(2x-8)/(x²+5x-6) <= 1/(x+2) |*(x²+5x-6)*(x+2)
(2x-8)*(x+2) <= x²+5x-6
2x²+4x-8x-16 <= x²+5x-6
x²-9x -10 <= 0
faktorisieren:
(x+1)(x-10) <= 0
also
entweder x+1<=0>=0
oder x+1>=0 und x-10<=0
also
entweder x<=-1>=10
oder x>=-1 und x<=10
also
entweder (...)
oder -1 <= x <= 10
zusammen mit der Bed. -6<x<-2 ergibt dies hier keinen erlaubten Bereich für x.
c) -2<x<1, hier ist x²+5x-6 negativ und x+2 positiv, also kehrt sich das Relationszeichen um:
(2x-8)/[(x-6)(x+1)] <= 1/(x+2) |*(x²+5x-6)*(x+2)
(2x-8)*(x+2) >= x²+5x-6
2x²+4x-8x-16 >= x²+5x-6 |-x²-5x+6
x² -9x -10 >= 0
faktorisieren:
(x+1)(x-10) >= 0
also
also
entweder x+1>=0 und x-10>=0
oder x+1<=0 und x-10<=0
also
entweder x>=-1 und x>=10
oder x<=-1 und x<=10
also
entweder x>=10
oder x<=-1
zusammen mit der Bed. -2<x<1 ergibt dies hier den Bereich -2 < x <= -1
für den die Ungleichung erfüllt ist.
d) 1<x
hier ist x²+5x-6 positiv und x+2 positiv, also kehrt sich das Relationszeichen nicht um:
(2x-8)/(x²+5x-6) <= 1/(x+2) |*(x²+5x-6)*(x+2)
(2x-8)*(x+2) <= x²+5x-6
2x²+4x-8x-16 <= x²+5x-6
x² -9x -10 <= 0
faktorisieren:
x²-9x -10 <= 0
(x+1)(x-10) <= 0
also
entweder x+1>=0 und x-10<=0
oder x+1<=0>=0
also
entweder x>=-1 und x<=10
oder x<=-1>=10
also
entweder -1 <= x <=10
oder keinen weiteren Bereich
zusammen mit der Bed. 1<x ergibt sich hier:
1 < x <= 10
also ist die Ungleichung erfüllt, wenn eines von den folgenden a), c) oder d) zutrifft:
a) x < -6
c) -2 < x <= -1
linken Seite zu faktorisieren:
x²+5x-6 = (x+6)*(x-1)
Dieser Nenner ist positiv, wenn
entweder x+6 > 0 und x-1 > 0
oder x+6 < 0 und x-1 < 0
ist
also
entweder x > -6 und x > 1
oder x < -6 und x < 1
also
entweder x > 1
oder x < -6
im Fall -6<x<1 ist er negativ.
der Nenner der rechten Seite, x+2, ist dann positiv, wenn x > -2 ist, bei x<-2 ist er negativ.
es gibt hier also drei kritische Stellen, an denen eine Fallunterscheidung sinnvoll ist:
x=-6, x=-2 und x=1
also Unterteilung in vier Intervalle:
a) x<-6
b) -6<x<-2
c) -2<x<1
d) 1<x
zunächst also
a) x < -6, hier ist x²+5x-6 positiv (s.o.) und da auch x<-2 gilt, ist x+2 negativ, also kehrt sich das Relationszeichen um, wenn mit *(x²+5x-6)*(x+2) multipliziert wird:
(2x-8)/(x²+5x-6) <= 1/(x+2) |*(x²+5x-6)*(x+2)
(2x-8)*(x+2) >= x²+5x-6
2x²+4x-8x-16 >= x²+5x-6 |-x²-5x+6
x² -9x - 10 >= 0
faktorisieren:
(x+1)(x-10) >= 0
also
entweder x+1>=0 und x-10>=0
oder x+1<=0 und x-10<=0
also
entweder x>=-1 und x>=10
oder x<=-1 und x<=10
also
entweder x>=10
oder x<=-1
zusammen mit der Bed. x < -6 ergibt das den Bereich
x<-6
für den die Ungleichung erfüllt ist.
b) -6<x<-2
hier ist x²+5x-6 negativ und x+2 negativ, also kehrt sich das Relationszeichen nicht um:
(2x-8)/(x²+5x-6) <= 1/(x+2) |*(x²+5x-6)*(x+2)
(2x-8)*(x+2) <= x²+5x-6
2x²+4x-8x-16 <= x²+5x-6
x²-9x -10 <= 0
faktorisieren:
(x+1)(x-10) <= 0
also
entweder x+1<=0>=0
oder x+1>=0 und x-10<=0
also
entweder x<=-1>=10
oder x>=-1 und x<=10
also
entweder (...)
oder -1 <= x <= 10
zusammen mit der Bed. -6<x<-2 ergibt dies hier keinen erlaubten Bereich für x.
c) -2<x<1, hier ist x²+5x-6 negativ und x+2 positiv, also kehrt sich das Relationszeichen um:
(2x-8)/[(x-6)(x+1)] <= 1/(x+2) |*(x²+5x-6)*(x+2)
(2x-8)*(x+2) >= x²+5x-6
2x²+4x-8x-16 >= x²+5x-6 |-x²-5x+6
x² -9x -10 >= 0
faktorisieren:
(x+1)(x-10) >= 0
also
also
entweder x+1>=0 und x-10>=0
oder x+1<=0 und x-10<=0
also
entweder x>=-1 und x>=10
oder x<=-1 und x<=10
also
entweder x>=10
oder x<=-1
zusammen mit der Bed. -2<x<1 ergibt dies hier den Bereich -2 < x <= -1
für den die Ungleichung erfüllt ist.
d) 1<x
hier ist x²+5x-6 positiv und x+2 positiv, also kehrt sich das Relationszeichen nicht um:
(2x-8)/(x²+5x-6) <= 1/(x+2) |*(x²+5x-6)*(x+2)
(2x-8)*(x+2) <= x²+5x-6
2x²+4x-8x-16 <= x²+5x-6
x² -9x -10 <= 0
faktorisieren:
x²-9x -10 <= 0
(x+1)(x-10) <= 0
also
entweder x+1>=0 und x-10<=0
oder x+1<=0>=0
also
entweder x>=-1 und x<=10
oder x<=-1>=10
also
entweder -1 <= x <=10
oder keinen weiteren Bereich
zusammen mit der Bed. 1<x ergibt sich hier:
1 < x <= 10
also ist die Ungleichung erfüllt, wenn eines von den folgenden a), c) oder d) zutrifft:
a) x < -6
c) -2 < x <= -1
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