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Beitrag |
    
Stefan
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. April, 2002 - 19:41: | 
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Hallo, ich bräuchte Hilfe bei dieser Aufgabe:
Für welche Einsetzungen für a - soweit möglich - hat die Gleichung
a) x^4+ax^2=0
b) x^4+ax^2+1=0
c) x^4-2x^2+a=0
(1) keine Lösung,
(2) genau eine Lösung,
(3) genau zwei Lösungen,
(4) genau drei Lösungen,
(5) vier Lösungen?
Es wäre nett, wenn ich eine Antwort vor Montag erhielte! Vielen Dank im Voraus!
mfg stefan |
A.K.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. April, 2002 - 09:26: |
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Hallo Stefan
a) x4+ax²=0
<=> x²(x²+a)=0
=> x²=0 oder x²+a=0
=> x=0 oder x²=-a
Diese Gleichung hat also immer mindestens eine Lösung, nämlich x=0
Für a>=0 hat sie genau eine Lösung x=0.
Für a<0 hat sie genau drei Lösungen; nämlich
x=0, x=+Ö(-a) und x=-Ö(-a)
Vier Lösungen kann es nicht geben, da für x²=0 nur x=0 als Lösung in Frage kommt (sogenannte doppelte Nullstelle)
b) x4+ax²+1=0
Substituieren mit x²=u
u²+au+1=0
=> u1,2=-(1/2)a±Ö((a²/4)-1)
=-(a/2)±(1/2)Ö(a²-4)
Für a²-4<0 gibt es für u keine Lösung und damit auch keine Lösung für x.
Für a²-4=0 <=> a²=4 => a=2 oder a=-2
gibt es für u die Lösung -a/2 und damit u1=-1 und u2=1 also Lösung.
Wegen x²=u folgt damit aus
x²=-1 keine Lösung für x falls a=2 und aus
x²=1 folgt x1=1 und x2=-1; also zwei Lösungen für a=-2
Für a²-4>0 <=> a²>4 => a>2 oder a<-2
gibt es zwei Lösungen für u; und zwar
u1=(-a/2)+(1/2)Ö(a²-4) und
u2=(-a/2)-(1/2)Ö(a²-4)
Wegen x²=u muss gelten u1>0 bzw. u2>0
(da Wurzeln aus negativen Zahlen nicht definiert)
u1>0 <=> -a/2+(1/2)Ö(a²-4)>0
<=> (1/2)Ö(a²-4)>a/2
<=> Ö(a²-4)>a
dies gilt für alle a<-2
Damit hat die Gleichung für a<-2 zwei Lösungen.
Mit u2>0 <=> -a/2-(1/2)Ö(a²-4)>0
<=> -a/2>(1/2)Ö(a²-4)
<=> -a>Ö(a²-4)folgt
die Gleichung hat für a<-2 vier Lösungen.
Zusammengefasst gilt somit
1) keine Lösung für -2<a<2
2) zwei Lösungen für a=-2
3) vier Lösungen für a<-2
c) keine Lösung für a>1
zwei Lösungen für a=1 und a<0
drei Lösungen für a=0
vier Lösungen für 0<a<1
Mfg K.
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