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Binomischer Lehrsatz

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klassen 8-10 » Algebra » Termumformung » Binomischer Lehrsatz « Zurück Vor »

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tatjana
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Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Juni, 1999 - 17:39:   Beitrag drucken

Hallo, habe ein kleines Problem bei folgender Aufgabe :
Schreibe das Pascalsche Dreieck bis n=10 hin.
a.) Addiere die Binomialkoeffizienten d. h. die Zahlen in jeder einzelnen Zeile.
b.) Die Summen zeigen eine Gesetzmäßigkeit. Gib diese an. Wie groß ist also die Summe der n-ten Zeile ? Beweise das Ergebnis allgemein mit dem Binomischen Lehrsatz.
c.) Jetzt gib jeder Zeile den Gliedern alternierende Vorzeichen und beantworte a.) und b.) nochmal

a.) ist mir klar. Zu b.) habe ich rausgekriegt, daß die Summen eine geometrische Folge bilden mit Q=2. Die Summe der n-Zeile, also der 10.ist 1024. Nun verwirrt mich aber die Frage, wie groß ist ALSO die Summe der n-ten Zeile, bzw. krieg ich den Bezug zum binomischen Lehrsatz nicht. Geht es vielleicht gar nicht um die geometrische Folge ?

Für c.) krieg ich in der ersten Zeile 1 und sonst überall 0 raus. Da finde ich gar keine Gesetzmäßigkeit und schon gar nicht kann ich sie beweisen.

Kann mir jemand helfen, bevor ich die Aufgabe zum Fenster rausschmeiße ? Im Grunde brauch ich nur den Tip zur Gesetzmäßigkeit, den Rest schaff ich allein. Schonmal ganz lieben Dank !
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Ingo
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Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Juni, 1999 - 23:30:   Beitrag drucken

b) Summe der n.Zeile ist 2n (weiter nichts)
Beweiseidee : setze (n;k)=(n;k)*1n-k*1k
(n;k) := n über k

c)Du hast die Gesetzmäßigkeit schon gefunden : Es kommt immer 0 raus.Beweisidee wie oben,nur mit 1 und -1.
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Tatjana
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Veröffentlicht am Montag, den 28. Juni, 1999 - 09:52:   Beitrag drucken

Hallo Ingo, dann stimmt das bei b.) also mit der geometrischen Folge ? Die Beweisidee habe ich leider nicht verstanden. Wo ist bei c.) die Gesetzmäßigkeit, wenn doch in der ersten Zeile 1 rauskommt und dann immer 0 ?
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Tatjana
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Veröffentlicht am Montag, den 28. Juni, 1999 - 09:53:   Beitrag drucken

Hallo Ingo, dann stimmt das bei b.) also mit der geometrischen Folge ? Die Beweisidee habe ich leider nicht verstanden. Wo ist bei c.) die Gesetzmäßigkeit, wenn doch in der ersten Zeile 1 rauskommt und dann immer 0 ?
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Tatjana
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Veröffentlicht am Montag, den 28. Juni, 1999 - 11:47:   Beitrag drucken

Hallo Ingo, dann stimmt das also mit der geometrischen Folge ? Deine Beweisidee hab ich zwar verstanden, jedoch kriege ich da immer noch den Zusammenhang nicht. Wie kann ich die Gesetzmäßigkeit, bzw. das Ergebnis 2 hoch n mit dem binomischen Lehrsatz beweisen ?
Zu c.) Hier versteh ich die Gesetzmäßigkeit nicht, wenn ich in der 1. Zeile 1 rauskrieg und sonst immer 0. Was soll ich da zu der Summe der n-ten Zeile sagen und wie beweis ich das mit dem binomischen Lehrsatz ? Schonmal vielen Dank für Deine Mühe.
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Ingo
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Veröffentlicht am Montag, den 28. Juni, 1999 - 23:47:   Beitrag drucken

Hallo Tatjana,
etwas verspätet jetzt die Antwort auf Deine Fragen:
zu a) Der Binomische Lehrsatz besagt doch folgendes :
(a+b)n = Sn O (n;k)an-kbk = an+(n;1)an-1b+...+(n;n-1)abn-1+bn

Wenn Du die Zeilensumme nimmst,setzt Du in diese Formel a=b=1 ein und erhältst (1+1)n als Ergebnis.
c) Wenn Du alternierende Vorzeichen hast,mußt Du a=-1 und b=1 setzen.Dann kommt logischerweise (1-1)n=0 herraus.Die EINZIGE Ausnahme (ja,so ist das leider in der Mathematik...) ist der Fall n=0,da der Binomische Lehrsatz nur für n>0 gilt. Trivialerweise ist (0;0)=1¹0

Jetzt verstanden ?
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Tatjana
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Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Juni, 1999 - 14:44:   Beitrag drucken

Hallo Ingo, verzeih bitte mein Spatzenhirn, aber mit diesem Lehrsatz hab ich es einfach nicht:

Der Beweis lautet also :

(1+1)hoch n = 1 hoch n + (n;1) 1 hoch n-1 1 .....
???????

Bei c.) versteh ich nicht, warum da ausgerechnet 1 eingesetzt wird und nicht z. B. 2 bzw. -2. Und warum ist a negativ zu setzen und nicht b ???

Danke dafür, daß Du nicht die Geduld mit mir verlierst....
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Ingo
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Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Juni, 1999 - 23:51:   Beitrag drucken

Hy Tatjana,
also nochmal ganz von vorn (nicht bös gemeint !) :
Du berechnest die Zeilensumme im Pascalschen Dreieck.Dort sind aber die Werte (n;k) [= n über k] vermerkt. Als Schema :

.......(0;0)
...(1;0)...(1;1)
(2;0)..(2;1)..(2;2)

Die Zeilensumme in der n.Zeile ist also
(n;0)+(n;1)+(n;2)+...+(n;n)
oder auch
(n;0)*1+(n;1)*1+(n;2)*1+...+(n;n)*1
bzw.
(n;0)*1n+(n;1)*1n-1*11+...+(n;n)*1n

In dieser Form findest Du den Binomischen Lehrsatz mit a=b=1 wieder.

Bei c) läuft es fast genauso :
(n;0)-(n;1)+(n;2)-..+..(n;n)
=(n;0)*(-1)0*1n+(n;1)*(-1)1*1n-1+...+(n;n)*(-1)n*10
Wieder ist der Binomische Lehrsatz zu erkennen mit a=-1 und b=1.
Umgekehrt (a=1,b=-1) kommt natürlich auch Null herraus,nur dann berechnest Du -(n;0)+(n;1)-...

Das Schwierige daran ist den Zusammenhang zum binomischen Satz herzustellen, also denke nicht,daß Du blöd bist.Viele haben damit Schwierigkeiten !
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Tatjana
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. Juli, 1999 - 12:41:   Beitrag drucken

Lieber Ingo, soweit so gut. Herzlichen Dank. Was ich bei c.) immer noch nicht verstehe : Es heißt doch letztendlich (a-b) hoch n. Wenn ich nun für a -1 und für b 1 habe heißt das (-1+1)hoch n und das versteh ich ehrlich gesagt nicht.
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Tatjana
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. Juli, 1999 - 12:58:   Beitrag drucken

Und nochmal zu c :) Das erste Glied der n-ten Zeile ist doch positiv, das zweite negativ etc.,
also müßte das doch heißen : (n;0)*1 + (n;1) * -1
etc., bzw. (n;0)*1hoch n etc.. Wenn ich für a -1 setze dann rechne ich doch letzendlich 1 (für n;0)
*-1 und bekomme ein negatives erstes Glied.

Puh, ich glaube wenn Du mir diesen Widerspruch erklärt hast, habe ich nie wieder Probleme mit dem Binomischen Lehrsatz.
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Ingo
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. Juli, 1999 - 22:40:   Beitrag drucken

Hallo Tatjana,
im Prinzip ist es egal,aber bei meiner obigen Schreibweise muß es tatsächlich a=1 und b=-1 heißen,anstatt umgekehrt(Sorry! Aber daß Du das erkannt hast zeigt mir,daß Du es auch weitgehends verstanden hast !)
Das Ergebnis lautet dann (1+(-1))n=0n=0
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Tatjana
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Veröffentlicht am Freitag, den 02. Juli, 1999 - 09:43:   Beitrag drucken

Hallo Ingo, vielen Dank für Deine unermüdliche Hilfe. Bis zum nächsten Problem...
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Anonym
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Veröffentlicht am Montag, den 20. September, 1999 - 16:39:   Beitrag drucken

Hallo habe ein Problem.Kann diese Aufgabe nicht lösen: Von David B.

(8u² - v²)(8u²+v²) - (8u²-v²)²
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clemens
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Veröffentlicht am Montag, den 20. September, 1999 - 18:50:   Beitrag drucken

hallo

X = (8u² - v²)(8u²+v²) - (8u²-v²)²

hier kannst du zunächst einmal einen trick verwenden: da nur ausdrücke 8u² und v² kommen, schreibst du für 8u² einfach a und b für v²

also
X = (a-b)(a+b) - (a-b)²

das sieht schonmal einfacher aus.

X = a²-b² - (a²-2ab+b²) =
= a² - b² - a² + 2ab - b² =
= 2ab - 2b²
( = 2b(a-b) )

jetzt für a und b einsetzen

X = 2b(a-b) = 2*8u²*v² - 2*v^4 = 16u²v² - 2v^4

clemens

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