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Rolf
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. Oktober, 2000 - 18:23: | 
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Mein Problem ist:
Für welche k,m und n gilt die Gleichung
2 hoch k + 2 hoch m = n!
Wer kann mir den Lösungswer zeigen.
Vielen Dank
Rolf |
fireangel
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Oktober, 2000 - 11:42: |
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Vorraussetzung: k,m,n € N
2^k und 2^m müssen mindestens je 2 sein, wenn 0 nicht zu N zählt, mindestens je 1, wenn 0 dazuzählt. Damit wird 1! = 1 nie erreicht. 2! = 2 ist nur durch Zulassen von 0 für k und m lösbar, dann gilt: 2^0 + 2^0 = 2! = 2
3! = 6 ist durch k = 1 und m = 2 machbar:
2^1 + 2^2 = 6
4! lässt sich ebenfalls leicht machen:
2^3 + 2^4 = 4! = 24
ab 5! gibt es keine Lösungen mehr, die Erklärung versuche ich mal so:
5! = 5*4*3*2*1 = 2*4 * 1*3*5 = 8 * 15 = 2^3 * 15
eine solche Schreibweise lässt sich für jede Fakultät wählen so dass man auf der einen Seite alle Faktoren hat, die sich mit 2^x ausdrücken lassen(2,4,8,16,etc) und auf der anderen die übrigen Faktoren, bei Fakultäten über 5! immer 15 * y.
es sei k < m (eines muss ja kleiner sein)
dann kann man schreiben:
2^k + 2^m = 2^k * (1 + 2^f)
man hat nun also zusammen:
2^x * 15*y = 2^k * (1 + 2^f)
Nun wählt man x=k, es muss ja auch dann Lösungen geben, wenn die Gleichung überhaupt lösbar ist.
Damit reduziert sich das Problem auf:
15*y = 1 + 2^f
in y ist bei jeder Fakultät, die größer ist als 5! 6 als Faktor enthalten, jede Zahl, die mit einem geraden Faktor multipliziert wird, wird selbst gerade. Zieht man dann die 1 von der rechten Seite ab, erhält man auf jeden Fall eine ungerade Zahl.
Ungerade Zahlen kann man aber auf keinen Fall mit 2^f ausdrücken, so dass die ursprüngliche Gleichung für alle n > 5 unlösbar wird. Bei n = 5 fällt in meinen Umformungen y weg, so dass nach dem Subtrahieren von 1 14 = 2^f als unlösbare Gleichung übrigbleibt.
Also gibt es keine Lösung für n > 4.
Die Lösungen für n € {2,3,4} habe ich schon genannt, es gibt keine für größere und kleinere n, also: TATA
Ich hoffe du steigst durch mein Geschwafel durch! |
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