| Autor |
Beitrag |
    
rainer Ammer
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Oktober, 2000 - 13:09: | 
|
Folgendes Problem bereitet mir Kopfzerbrechen:
Für welche natürliche Zahl x ist x*x+1993 eine Quadratzahl?
Mit anderen Worten x^x + 1993 = y^2
mfg Rainer |
Pepe
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Oktober, 2000 - 20:24: |
|
Das Problem lässt sich numerisch angehen, was hier nur ausprobieren heissen soll. Schreib Dir ein Computerprogramm dafür, am besten in C, geht aber auch in BASIC. Der Algorithmus könnte so aussehen:
Verschachtele zwei Schleifen ineinander . Die äußere Schleife läuft von n=1 bis z.B. n=200. Die innere Scleife läuft von i=1 bis i=n. Innerhalb der inneren Schleife berechnest Du n2-i2 und vergleichst das Ergebnis mit 1993. Wenn der Vergleich der Quadrate Gleichheit feststellt, lässt Du Dir die beiden Quadrate ausgeben.Wenn Du damit keinen Erfolg haben solltest, musst Du Schrittweise die Obergrenze für n erhöhen. Bedenke, daß die Rechenzeit stärker als linear und geringfügig schwächer als quadratisch mit der Größe dieser Obergrenze anwächst |
habac
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Oktober, 2000 - 07:17: |
|
Hi Rainer
es geht auch mit weniger Aufwand:
Forme um (subtrahiere x2):
1993 = y2 - x2
Wende rechts die 3. Binomformel an:
1993 = (y - x)(y + x)
Da 1993 eine Primzahl ist, ist die einzige mögliche Zerlegung mit positiven Zahlen:
y - x = 1, y + x = 1993.
Dieses Gleichungssystem ist noch zu lösen!
Gruss
habac |
rainer Ammer
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Oktober, 2000 - 15:12: |
|
hi habac
wenn die angabe x²+ 1993 = y² lauten wurde hätte ichs auch schon geschafft sie lautet aber
x^x + 1993 = y^2
rainer |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Oktober, 2000 - 22:13: |
|
x kann nicht gerade sein. Denn dann funktioniert nämlich der Trick von habac.
Kann x ungerade sein??
Rainer, wo hast du die Aufgabe her? Manchmal hilft diese Auskunft schon bei der Lösung...
Z. |
Pepe
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Oktober, 2000 - 22:28: |
|
Hallo Rainer,
Du hast in Deiner Aufgabenstellung einmal x*x,also
x2, und einmal xx geschrieben. Schau am besten noch einmal in die Aufgabenstellung, das sind zwei unterschiedliche Terme ... |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Oktober, 2000 - 23:18: |
|
Es ist x hoch x gemeint, wie Rainer noch einmal ausdrücklich betont hat. |
habac
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. Oktober, 2000 - 07:43: |
|
Hi Rainer
für die zweite Variante xx + 1993 = y2 kann ich Dir nur eine Lösung im Zwölfersystem anbieten:
11 + 1993 = 482
Umgeschrieben ins Dezimalsystem:
11 + 3135 = 562
Das würde noch einigermassen in die Rubrik Klassen 8 - 10 passen ... |
rainer Ammer
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. Oktober, 2000 - 13:14: |
|
1) die aufgabenstellung lautet x^x
2) das bespiel ist ein Übungsbeispiel zur Matheolympiade und hat mit Schulmathematik soviel wie nichts gemeinsam.
3) das bsp ist im Dez System (10er System) zu lösen. und x,y müssen Elemente aus den natürlichen Zahlen sein.
4) nach meinen Überlegungen kann es keine Lösung für x,y e N geben. mir fehlt aber leider der Beweis.(vollständige Induktion wäre vielleicht ein Lösungsansatz)
Rainer |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Oktober, 2000 - 15:19: |
|
Hallo Rainer, ich habe weder Zahlen für x und y gefunden, noch habe ich beweisen können, dass es keine gibt, aber vielleicht hilft die folgende Endziffernbetrachtung ja doch etwas weiter. Immerhin senkt es die Rechenzeit noch mal etwas, da, glaube ich, für x nur noch 15% und für y noch 40% der natürlichen Zahlen in Frage kommen können, unter der Voraussetzung, dass x nicht gerade sein kann, wie Zaph gesagt hat. (Mir leuchtet zwar die Begründung nicht ganz ein, aber wenn ich das Verfahren von habac mit xx statt x2 anwende, komme ich auf zwei Gleichungen: y-Ö(xx)=1 und y+Ö(xx)=1993, welche für kein ganzzahliges x erfüllt sind. Keine Ahnung, warum dieses jetzt nicht schon als Beweis für die Nichtexistenz einer Lösung gelten kann)
Ich nehme die Behauptung jetzt einfach so hin und gehe davon aus, dass x ungerade sein muss:
Natürlich gilt, wie du schon vorausgesetzt hast:
x, y Î IN, ebenfalls soll für später benutzte Parameter gelten k, l, m, n,... Î IN oder evtl. kann es mal nötig sein, IN0 zu verwenden, bitte selber mitdenken...
Ich bitte die Mathematiker, die mathematisch wahrscheinlich nicht korreke Ausdrucksweise, was die Mengenschreibweise und die Funktionsdefinitionen und evtl. weitere Sachen angeht, zu entschuldigen
Ich definiere jetzt eine Funktion "Endziffer von x" (oder auch "Einerziffer von x") e(x) und eine Funktion "letzte beide Endziffern" (oder besser "Zehnerziffer und Einerziffer") ze(x). Die Vorschrift, wie man an die Funktionsterme gelangt, dürfte sich aus den Namen von selbst erklären.
e: IN -> [0;9] und ze: IN -> [00;99]
jetzt betrachte mal die Endziffern von Quadratzahlen y2 und von Zahlen xx in Wertetabellen:
(mache für die Quadratzahlen am besten selbst noch eine Tabelle, in der alle Quadratzahlen von Zahlen von 1 bis 51, also 1 bis 2601, stehen, wobei du die Quadratzahl von 26 wieder hinter die von 24 schreibst, die von 27 hinter die von 23 und so in umgekehrter Reihenfolge bis zur Quadratzahl von 49, die hinter die 1 kommt, die Q.Z. von 51 kommt dann hinter die von 1 und 49, wobei sich ab jetzt die letzten beiden Endziffern der Quadratzahlen ze(QZ) in derselben Reihenfolge wiederholen. Ergänzend zu dieser Tabelle siehe auch http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/25/5462.html
Tabelle 1:
| e(y) | | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | | e(y2) | | 0 | 1 | 4 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 4 | 1 |
Tabelle 2:
| ze(x) | | 00 | 01 | 02 | 03 | 04 | 05 | 06 | 07 | 08 | 09 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | ... | | e(xx) | | 0 | 1 | 4 | 7 | 6 | 5 | 6 | 3 | 6 | 9 | 0 | 1 | 6 | 3 | 6 | 5 | 6 | 7 | 4 | 90 | 1 | 4 | ... |
wobei die 20 wieder das e(xx) von der 0 hat, also in der ersten Zeile zur 0 hinzugeschrieben werden müsste, die 21 zur 1 etc. bis 99 zur 19.
Klar wird dir letztere Tabelle spätestens dann, wenn du eine größere Tabelle anlegst, in deren erster Zeile alle Zahlen von 1 bis 20 stehen und in deren weiteren Zeilen die jeweiligen 1er-, 2er-Potenzen (also die Quadratzahlen aus der ersten Tabelle), 3er-, 4er-Potenzen (oder kürzer: nur ihre Endziffer) stehen. Dann siehst du, so wie für die Quadratzahlen laut obiger Tabelle gilt e(x2) = 1,4,9,6,5,6,9,4,1,0, so gilt für die Kubikzahlen von x mit e(x) = 1,2,3,...9, dass e(x3) = 1,8,7,4,5,6,3,2,9,0, und für alle Viererpotenzen kommt die Folge 1,6,1,6,5,6,1,6,1,0 heraus. Bei den Fünferpotenzen beginnt das Spiel wieder von vorn, das heißt, die Folge der Endziffern ist wieder 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0, bei den Sechserpotenzen dann wieder so wie bei den Quadratzahlen: 1,4,9,6,5,6,9,4,1,0.
Das heißt, eine allgemeine Formel mit beliebigen Exponenten sagt: e(xn+4) = e(xn), die Endziffer wiederholt sich nach viermaligem Multiplizieren der Zahl mit sich selbst, diese Regel heiße "Periodizitätsregel für die Einerziffer".
Somit kommen so viele verschiedene Endziffern der Folge xx mit jeweils um 1 steigendem x heraus, wie das kgV von 10 (wegen der Periode 10 bei Wiederholung der Einerziffer) und 4 (wegen der Periode 4 im Exponenten) ist: also 20.
(d. h. im Gegensatz zu Quadratzahlen z.B., e(77) = 3, aber e(1717) = 7, e((7+20)7+20) = 3, die Endziffer von 2727 ist wieder 3, die von 3737 dann wieder 7 usw.)
geht man nun davon aus, dass x ungerade ist, so hat x die Endziffern 1, 3, 5, 7 oder 9: kürzer in Mengenschreibweise e(x)Î{1,3,5,7,9}
=> e(xx)Î{1,7,5,3,9} (siehe Tabelle 2)
Wenn xx ungerade, dann folgt: x ist ungerade => y ist gerade
=> e(y) Î{0,2,4,6,8} => e(y2)Î{0,4,6} (vgl. Tabelle 1)
Sammeltabelle: mögliche Werte für x und y
x Î{1,3,5,7,9} y Î{0,4,6}
Zuerst soll gezeigt werden, dass es den Fall e(y)=0 nicht geben kann:
Ann.: e(y)=0
=> y ist durch 10 teilbar => y2 ist durch 100 teilbar => y2 = xx+1993 ist durch 100 teilbar => xx+1993 lässt sich schreiben als k*100 mit kÎIN0
=> xxÎ{100k+7 | kÎIN}
also gilt ze(xx)=07, da von y2=k*100 mit ze(y2)=00 ja 1993 abgezogen wurde.
Zu Werten von xx, mit ze(xx)=07, gehört aber laut Tabelle 2 ein x, bei dem ze(x)Î{03, 23, 43, 63, 83 , 17, 37, 57, 77, 97} gilt, also allgemein xÎ{20m+3, 20m+17 | mÎIN0}
davon kannst du nun folgende Werte ausschließen:
•17, wenn du ze(1717)=77 wissen willst, läuft das analog der Periodizitätsregel für die Einerziffer: ze(xn+20)=ze(xn) nenne diese Regel "Periodizitätsregel für Zehner- und Einerziffer" (mach dir das an Beispielen klar, läuft analog der für die Einerziffer, im Zweifelsfall mit einem Taschenrechner, der nur 10 Stellen kann, schrittweise multiplizieren: 175 bilden, die letzten beiden Stellen (hier 57) merken, denn nur diese sind für die neuen letzten beiden Stellen verantwortlich, diese dann mit 174 multiplizieren, wieder vorne abschneiden ... usw. )
•37, denn ze(3737)=ze(3717)=17
•57: ze(5757)=ze(5717)=57,...,•77->97,•97->37
also bleibt keine übrig, für die die letzten beiden Stellen 07 ergeben. Damit ist ausgeschlossen, dass e(y)=0 ist.
Allgemein soll jetzt noch gezeigt werden, dass e(x) nur 1 oder 7 sein kann und die zugehörigen y-Werte sollen angegeben werden.
vorausgesetzt war: y ist gerade => y2 ist gerade => e(y2)Î{4,6}
Falls nun e(y2) = 4 ist, so muss e(xx+1993)=4 sein => e(xx) = 1 => e(x) = 1
Falls e(y2) = 6 ist, so muss e(xx+1993)=6 sein => e(xx) = 3 => e(x) Î{3,7}
Weggefallen sind schonmal die Möglichkeiten e(x)=5 und e(x)=9 sowie e(y)=0
paarweise auszuprobierende x und y stehen jetzt in der ersten und letzten Zeile der neuen
Sammeltabelle:
| e(x) | | 1 | 1 | 3 | 3 | 7 | 7 | | e(xx) | | 1 | 1 | 3 | 3 | 3 | 3 | | e(y2) | | 4 | 4 | 6 | 6 | 6 | 6 | | e(y) | | 2 | 8 | 4 | 6 | 4 | 6 |
Die e(y) ergeben sich dabei wie folgt:
1. Fall: zu e(xx) = 1 gehörte e(y2)=4, betrachte jetzt die letzte Stelle von y in einer Liste von Quadratzahlen: sie ist für e(y2)=4 entweder 2 oder 8:
e(y2)=4 => e(y)Î{2,8}
2. Fall: hier können noch einige Möglichkeiten ausgeschlossen werden.
zu e(xx) = 3 gehört e(y2)=6, dazu gehören e(y) = 4 und e(y)=6 laut Tabelle 1.
zu e(xx) = 3 gehören vorerst laut Tabelle 2 noch ze(x)Î{20k+7,20k+13 | kÎIN0}
Es wird sich aber herausstellen, dass der Fall ze(x)=20k+13 nicht sein kann.
Denn dies würde bedeuten, dass ze(x)Î{13,33,53,73,93} ist, das zöge nach sich: ze(1313)=53 (z. B. mit Taschenrechner, der 15 Stellen beherrscht, nachrechnen, oder mit dem schrittweisen Multiplizieren von 13 mit sich selbst, wobei vor Überschreiten der Anzeigekapazität die letzten beiden Stellen neu eingegeben werden, und dann mit 13 weitermultipliziert wird, solange, bis 13 mal mit 13 multipliziert wurde), ze(3333)=13, ze(5353)=73, ze(7373)=33, ze(9393)=93, dies kann man nach der "Periodizitätsregel für Zehner- und Einerziffer" erhalten: ze(xn+20)=ze(xn)
Diese Endziffernkonstellationen ziehen also nach sich:
| ze(x) | | 13 | 33 | 53 | 73 | 93 | | ze(xx) | | 53 | 13 | 73 | 33 | 93 | | ze(y2) | | 46 | 06 | 66 | 26 | 86 |
was für keine Quadratzahl y2 erfüllt ist: Quadratzahlen, die auf 6 enden, enden entweder auf 16, 36, 96, 56 oder 76, aber nie auf die obengenannten 06,26,46,66,86 (dazu vergleiche Quadratzahltabelle mit Q.Z. von 0 bis 2601).
Also ist es nicht möglich, dass ze(x)Î{13,33,53,73,93} ist und damit nicht möglich, dass e(x)=3 ist.
.
Also bleiben nur Wertepaare (x,y) übrig mit folgenden Eigenschaften:
Sammeltabelle:
| e(x) | | 1 | 1 | | ze(x) | 07 | 27 | 47 | 67 | 87 | 07 | 27 | 47 | 67 | 87 | | e(xx) | | 1 | 1 | | | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | | e(y2) | | 4 | 4 | | | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | | e(y) | | 2 | 8 | | | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 |
Abschließend lässt sich also sagen, dass x nur Werte annehmen kann, deren letzte zwei Ziffern 07, 27, 47, 67 oder 87 sind und y dann nur die Endziffern 4 oder 6 haben kann. Diese Kombination muss für alle (rechentechnisch) möglichen x und y in die Gleichung eingebracht werden.
Ebenso müssen nur folgende x-Werte zusammen mit folgenden y-Werten geprüft werden:
x mit letzter Ziffer 1 und y mit letzter Ziffer 2 oder 8, dies sind noch ein paar mehr Konstellationen, die zu überprüfen wären. Vielleicht macht sich jemand anders ja noch ein paar Gedanken, wie man diese noch reduzieren kann.
Was daraus weiter gemacht werden kann, weiß ich nicht. Vielleicht können noch weitere Wertepaare ausgeschlossen werden, bis alle unmöglich sind, womit dann bewiesen wäre, dass es in IN keine Lösung für die Gleichung gibt, oder es können alle bis auf ein Wertepaar ausgeschlossen werden, das dann einen deutlicheren Hinweis auf die gesuchte Lösung der Gleichung ergibt.
Jetzt habe ich noch ein paar Anmerkungen:
Rainer: Mit vollständiger Induktion fiele mir nichts dazu ein, bisher habe ich das Verfahren nur dazu benutzen können, um zu zeigen, dass etwas gilt und nicht, dass etwas konkretes nicht gilt.
-Frage an habac: wie kommt man auf das Zwölfersystem? Computerprogramm und ausprobieren oder...?
an Pepe wegen Verringerung der Rechenzeit (man darf sicher nicht eine Verringerung auf 15% * 40% = 6% annehmen?)
an Zaph: ich bitte um genauere Auskunft über die gerade / ungerade - Aussage
Gruß, Bernd |
bb
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Oktober, 2000 - 15:24: |
|
Bei Tabelle 2 habe ich die Formatierung nicht mehr überprüft. Die violette Null hinter der 9 und die 1 und 4 müssen natürlich ein Kästchen weiter rechts, also unter 20, 21, 22 stehen |
Zaph
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. Oktober, 2000 - 00:12: |
|
Hi B.Bernd, wo ist das Problem?
Da Ö(xx) = xx/2 für gerades x ganzzahlig ist, folgt aus
xx + 1993 = y²,
dass
y - xx/2 = 1
y + xx/2 = 1993,
also
xx/2 = 996
Es ist aber 66/2 = 216 und 88/2 = 4096.
x müsste also zwischen 6 und 8 liegen. |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. Oktober, 2000 - 22:20: |
|
Hallo Zaph, jetzt hab ichs verstanden, ich war nur im ersten Moment etwas verwirrt von der Aussage "x kann nicht gerade sein. Denn dann funktioniert der Trick...", die ich im ersten Moment fälschlicherweise gleichgesetzt habe mit "x muss ungerade sein, dann funktioniert der Trick von habac nicht". Auf diesen Trugschluss in Aussagelogik falle ich ab und zu noch ganz gerne rein. Denn z.B. 99 hätte als ungerade Zahl trotzdem eine ganzzahlige Wurzel.
Alles klar.
Was sagst du denn zum Vorschlag von Rainer, mit vollst. Induktion zu beweisen, dass es keine Lösung gibt? Könnte das gehen? Bisher habe ich die v. I. nur dazu benutzen können, die Gültigkeit einer Vermutung zu bewahrheiten.
Kann man v. I. auch dazu benutzen, eine Gültigkeit auszuschließen? |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Oktober, 2000 - 18:26: |
|
B.Bernd, bist du noch da? |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. Oktober, 2000 - 21:03: |
|
Ja, Zaph, hast du etwa einen neuen Vorschlag für dieses Problem? |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. Oktober, 2000 - 22:13: |
|
Nein, nicht wirklich. Habe nur einen Kommentar zu deiner Frage nach der v.I. zum Beweis der Ungültigkeit einer Behauptung.
Es gibt den berühmten "Abstieg von Fermat", mit dem Fermat bewies, dass die Gleichung x³ + y³ = z³ keine Lösung mit positiven x, y, z besitzt.
Angenommen, es gibt doch eine Lösung. Wähle eine Lösung, bei der x minimal ist. *rechnerechnerechne* Es folgt eine Lösung mit einem kleineren x. Widerspruch.
Mit Details kann ich z. Zt. leider nicht dienen. |
LSDXTC
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. Oktober, 2000 - 20:10: |
|
Ich glaube Zaph hat Recht !, soweit ich das verstehe.
Andrew Wiles hat bewiesen (über mannigfache Umwege) das Fermats letzter Satz:
Es gibt keine Lösungen für
x^n+y^n=z^n
mit n>2
richtig ist.
Müsste dann x^x nicht automatisch x<=2 sein ?
Und wie sieht das eigentlich mit negativen x aus ?
Ich glaube auch ziemlich beschissen !
Ist vielleicht nicht doch x*x also x^2 gemeint ???? |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. Oktober, 2000 - 20:48: |
|
Nein, es ist x^x gemeint. Rainer hat das mehrfach betont. Und mit Fermats letzten Satz hat das hier gestellte Problem nichts zu tun; dort ist der Exponent bei allen drei Termen gleich n. Negative x brauchen nicht berücksichtigt zu werden, da dann x^x nicht reell. |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. Oktober, 2000 - 23:05: |
|
Hallo Zaph, vielen Dank für diesen Hinweis.
Klar, wenn man eine Annahme hat, kann man einen Widerspruch konstruieren.
Wie kommt man bei dem Problem "x^x + 1993 = y^2 hat keine ganzzahligen Lösungen" auf eine geeignete Annahme? |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 29. Oktober, 2000 - 11:46: |
|
Die Annahme lautet x^x + 1993 = y^2. Dies ist zum Widerspruch zu führen.
Weiß leider auch nicht, wie :-( |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 19:49: |
|
Hi Zaph, ich glaube, du hattest da sowas vor wie auf Seite http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/4244/7352.html. Wow.
Dann sagte er es nochmal, weil er wusste, es würde die Presse ärgern. »Wow.«
Jetzt wird sich zeigen, ob die automatische eMail-Benachrichtigung funktioniert, wenn nach so langer Zeit hier wieder ein Beitrag erscheint
Gruß, Bernd |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 20:14: |
|
Ja, die E-Mail-Benachrichtigung funktioniert auch noch nach 5 Wochen.
Tatsächlich habe ich auch schon versucht, einen ähnlichen Trick wie in der von dir gelinkten Aufgabe hier anzuwenden. Hier ist es mir aber leider nicht gelungen.
Gruß
Zaph |
|
