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Jörg
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Oktober, 2000 - 09:26: | 
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ich hoffe auf ein Antwort:
Man denke sich alle Brüche mit dem Zähler 1, also Stammbrüche, und den Nennern (2^10), (2^10)+1, (2^10)+2 bis zu dem Bruch (einschließlich) mit dem Nenner 2^20 aufgeschrieben.
a) Wie viele Stammbrüche sind das?
b) Beweisen Sie, dass die Summe dieser Stammbrüche größer als 5 ist! |
Jörg
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Oktober, 2000 - 09:27: |
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die Zahl hinter ^ ist hochgestellt !! |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Oktober, 2000 - 17:03: |
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Hi Jörg,
das sind 2^20 - 2^10 + 1 = 1047553 Brüche.
Die Brüche 1/(2^10 + 1), ... ,1/2^11 sind alle größer oder gleich 1/2^11. Dies sind 2^11 - 2^10 = 2^10 viele Brüche. Die Summe dieser Brüche ist also größer als 2^10/2^11 = 1/2.
Die Brüche 1/(2^11 + 1), ... ,1/2^12 sind alle größer oder gleich 1/2^12. Dies sind 2^12 - 2^11 = 2^11 viele Brüche. Die Summe dieser Brüche ist also größer als 2^11/2^12 = 1/2.
Allgemein:
Die Brüche 1/(2^n + 1), ... ,1/2^(n+1) sind alle größer oder gleich 1/2^(n+1). Dies sind 2^(n+1) - 2^n = 2^n viele Brüche. Die Summe dieser Brüche ist also größer als 2^n/2^(n+1) = 1/2.
Also ist die Summe aller Brüche größer als 1/2 * 10 = 5. |
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