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Beitrag |
    
Jörg
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Oktober, 2000 - 09:22: | 
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Hier die Aufgabe:
Andi und Bernd unterhalten sich über die Besonderheiten der Jahreszahl 2001. Andi behauptet, dass die Summe aller natürlichen Zahlen von 1 bis 2001 durch 2001 teilbar ist. Nach einigem Nachdenken meint Bernd, dass dieses nicht ungewöhnlich ist. Es gebe sogar unendlich viele Zahlen n mit der Eigenschaft, dass die Summe von n aufeinander folgenden ganzen Zahlen durch n teilbar ist. Beweisen Sie, dass die Behauptungen von Andi und Bernd richtig sind! |
Andre
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Oktober, 2000 - 13:07: |
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Es gibt eine Formel, die die Summe aller Zahlen
von 1 bis n darstellt.
Soweit ich weiss ist diese gleich
n*(n+1)/2
Diese Formel kann man selbst aufstellen, indem
man sieht, dass immer das erste und letzte
Element, das zweite und vorletzte Element, das
dritte und drittletzte Element zusammenaddiert
immer denselben Wert ergeben. Bei geraden n
kommt es genau auf und ist daher n/2 mal
n+1 (n+1 ist immer diese Summe, z.B. erstes und
letztes). Bei ungeraden ist die Argumentation
aehnlich, es kommt aber das gleiche heraus
So, um nun zu zeigen, dass n*(n+1)/2 durch n
teilbar ist (in den ganzen Zahlen!), muss man
erst mal bemerken, dass entweder n oder n+1
durch 2 teilbar ist, und daher das Ergebnis immer
ganzzahlig ist.
Nun, wann ist n*(n+1)/2 durch n teilbar? Genau
dann, wenn (n+1) durch 2 teilbar ist.
n*(n+1)/2 ist fuer unendlich viele n durch n
teilbar, genau die ungeraden n wie z.B. 2001...
Andre |
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