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Warum versagt Beweis, dass Wurzel4 /€ Q?

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Christian
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. September, 2000 - 21:37:   Beitrag drucken

Hallo Leute, dieses hier steht in unserem Mathe-
buch, und das verstehe ich ja noch:


Wir nehmen einmal an, dass Wurzel2 eine rationale
Zahl ist. Dann muss Wurzel2 als Bruch darstellbar
sein, z. B. als 38/27. Es müsste also
38 38
--*-- = 2
27 27
sein. Das Produkt der beiden Bruchzahlen ist aber
nur dann 2, wenn sich 38²/27² vollständig kürzen
lässt, denn 2 ist eine natürliche Zahl.
38 38
--*--
27 27
lässt sich aber nur dann kürzen, wenn 38/27 auch
kürzbar ist. Dies ist aber nicht möglich, da die
Zahlen 38 (=2*19) und 27 (=3*3*3) teilerfremd sind.
Wurzel2 kann also nicht gleich 38/27 sein.

Dieser Nachweis kann aber auch für jeden anderen
Bruch m/n in der gleichen Weise geführt werden.
Wenn m/n gekürzt ist und n>1 ist, kann m²/n² nie-
mals 2 ergeben, da durch das Quadrieren von
Zähler und Nenner keine neuen Primfaktoren hinzu-
kommen. Welche Bruchzahl man auch für Wurzel2
schreiben will, immer führt diese Annahme zu
einem Widerspruch. Also gibt es keine Bruchzahl,
die gleich Wurzel2 ist.


SOWEIT IST JA NOCH ALLES KLAR. ABER JETZT KOMMT'S:

An welcher Stelle versagt der obige Beweis, wenn
man die Irrationalität von Wurzel4 zeigen möchte ?


Vielen Dank für die Antworten schon im Voraus !
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Zaph (Zaph)
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Veröffentlicht am Freitag, den 15. September, 2000 - 17:47:   Beitrag drucken

Der Beweis verwendet, dass der Nenner (z. B. 27) größer als 1 ist.
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Christian
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Veröffentlicht am Freitag, den 15. September, 2000 - 21:51:   Beitrag drucken

Hallo Zaph,
ich verstehe den Zusammenhang mit meiner Frage
kein Stück. Wieso sollte ich einen Nenner verwen-
den, der kleiner als 1 ist ?
Und wieso soll das bei Wurzel4 dann nicht hinkom-
men, wenn es bei Wurzel2 hingekommen ist?
Wenn es geht, bitte ausführlicher erklären.

DANKE sagt Christian
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Zaph (Zaph)
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Veröffentlicht am Freitag, den 15. September, 2000 - 22:45:   Beitrag drucken

Hi Christian, du verwendest bei der 4 keinen Nenner, der kleiner als 1 sondern gleich 1 ist.

4 = (2/1) * (2/1).

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