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Otto
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. September, 2000 - 17:59: | 
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Hi all,
also
log_a(x)*log_x(a) = 1
konnte ich ja noch schoen ueber die Definition
log_a(x)=b und log_x(a)=c
...
beweisen. Wie kann ich die Formel fuer den allgemeinen Baisiswechsel beweisen? Also
log_a(x)*log_e(a) = log_e(x)
oder nur anders geschrieben:
log_a(x) = log_e(x)/log_e(a)
Da ja log_e(a) eigentlich eine Konstante ist,
kann ich ja auch noch so schreiben:
log_a(x)/log_e(x) = konstant.
Nun, irgendwie bin ich jetzt ein wenig verwirrt.
Also es geht immer noch um den Beweis der Formel
fuer den allgemeinen Basiswechsel - Schulterzuck :-)
Vielen Dank fuer Eure Hilfe.
Grusz
Otto |
Clemens
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. September, 2000 - 12:47: |
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Hi, Otto!
Das was du aufgeschrieben hast stimmt zwar, aber an dem Punkt wo du nicht mehr weiter weißt, müßtest du genau die Formel
log_a(x)/log_e(x) = konstant
beweisen um den Satz bewiesen zu haben.
Für meinen Beweis brauche ich nur eine bestimmte Regel, die für alle Logarithmen gilt:
log_a (x^y) = y * log_a (x)
Diese ist leicht zu beweisen:
x^y = (a^log_a x)^y = a^(y * log_a x)
jetzt ziehen wir den Logarithmus:
log_a (x^y) = y * log_a x
So. Mit diesem Handwerkszeug gerüstet stürze ich mich nun auf den Satz über den Basiswechsel:
log_a(x) nennen wir y. Für log_e werde ich ln schreiben. Somit können wir mit gutem Gewissen ableiten:
x = a^y = e^ln(a^y) = e^(y ln a)
und folglich
ln x = y * ln a
aber y war ja log_a(x), also
ln x = log_a(x) * ln a
was aber genau der Basissatz ist.
/Clemens |
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