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Beitrag |
    
Lisa 123456
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 30. März, 2002 - 11:18: | 
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Hi!
Könnte mir hier jemand sagen, ob das richtig ist?
Man hat von einem Dreieck z.B.
a, c und alpha gegeben und soll herausfinden, ob es eine, zwei oder keine Lösung gibt.
Wenn
a/c = sin alpha
--> 1 Dreieck , da Gamma 90° wäre
a/c < sin alpha
--> kein Dreieck, da a gar nicht bis an b reichen würde
a/c > sin alpha
--> 2 Dreiecke, da die beiden oberen Punkte nicht zutreffen würden und beide a - Strecken länger wären, als die a - Strecke von a/c = sin alpha
(oh Mann, das war blöd erklärt, aber ich hoffe, man versteht, was ich meine)
AUßER wenn
a > c in a/c
, dann gibt es nur 1 Dreieck.
------
So, das war's.
Vielleicht findet ja jemand ein Gegenbeispiel
oder noch besser, vielleicht findet man keins.
[:-)]
Viele Grüße,
Lisa
P.S.: Ich weiß, das kann man auch mit den Kongruenzsätzen zeigen, aber die kannte ich nicht und deswegen habe ich es in der letzten Mathearbeit so versucht. (War leider falsch, weil ich
die Ausnahme mit a > c nicht berücksichtigt hatte) |
marco i
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 31. März, 2002 - 12:35: |
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Hallo Lisa,
zunächst mal vorneweg: Mit den Kongruenzsätzen ist es am einfachsten. Wenn man es aber so machen will wie du, dann wartet eine Menge Arbeit auf einen.
In allgemeinen Dreiecken gilt ja nicht * sin(alpha) = a/c, sondern sin(alpha) / sin(gamma) = a / c.
Dies ist der sogenannte Sinussatz. Im SPezialfall gamma=90 wird sin(gamma) = 1 und damit gilt Gleichung (*).
Für a/c < sin(alpha) gibt es, wie du schon gesagt hast, keine Lösung, denn dann wäre sin(gamma)>1, was nicht sein kann.
Der dritte Fall, a/c > sin(alpha) ist der eigentlich interessante. Aus deiner Argumentation geht hier keine Unterschied zwischen a<c oder a>c hervor, daher ist dies keine Erklärung. Eine vollständige Begründung ist recht länglich!.
Wenn man oben die Gleichung nach sin(gamma) auflöst, erhält man sin(gamma) = c/a*sin(alpha). Außerdem gilt sin(gamma) = sin(180-gamma), daher gibt es "pinzipiell" immer zwei Möglichkeiten, zum Beispiel gamma1 = 30, gamma2 = 150. Jetzt kommt es darauf an:
1) a<c , dann ist sin(gamma1) > sin(alpha) , also gamma1 (zwischen 0 und 90) > alpha. Daraus folgt für gamma2: gamma2 + alpha = 180-gamma1 + alpha < 180 (weil gamma1>alpha). => Also zwei Lösungen, gamma1 und gamma2.
2) a>=c, dann ist sin(gamma1) <= sin(alpha), also gamma1 (zwischen 0 und 90) <= alpha. Daraus folgt für gamma2: gamma2 + alpha = 180-gamma1+alpha >= 180. Dies kann aber nicht sein. In einem Dreieck können nicht schon 2 Winkel 180 grad oder mehr haben. Daher fällt gamma2 flach, also nur eine Lösung, nämlich gamma1.
Nochmal: Mit den Kongruenzsätzen ist es einfacher.
Ich hoffe, ich konnte dir trotzdem helfen..
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Lisa 123456
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 31. März, 2002 - 20:25: |
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Hi!
Vielen, vielen Dank!
 )
Ich weiß, dass es wahrscheinlich mit den Kongruenzsätzen einfacher ist... aber die muss man sich ja auch erst mal merken.
Und blöderweise hatte ich von ihnen in der Arbeit absolut keine Ahnung, da wir sie im Unterricht irgendwie ausgelassen hatten.
Und jetzt wollte ich einfach nur wissen, ob diese andere Idee auch irgendwie zu gebrauchen ist...
Noch frohe Ostern,
Grüße,
Lisa |
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