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Niels
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. September, 2000 - 12:21: | 
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Hallo Kolegen!
Wie kann ich den Satz des Ptolemäus beweisen?
Danke im Voraus!
Gruß N. |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. September, 2000 - 21:49: |
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Hi Niels! (Good Morning!)
Nachdem ich erstmal nachgeschaut habe, was dieser Satz überhaupt ist, habe ich nun eine Methode gefunden, wie man ihn beweisen kann. Die ist allerdings ziemlich schreibintensiv...
zu Beweisen:
Gür ein in einwn Kreis einbeschriebenes Viereck mit den Seiten a,b,c,d und den Diagonalen e und f gilt: a*c+b*d=e*f
Grobe Beweisidee:
1.)Zuerst habe ich herausgefunden, dass sich die gegenüberliegenden Winkel des Vierecks immer zu 180° ergänzen. Meine Methode war etwas kompliziert. Vielleicht findest Du etwas Einfacheres.
2.) Die Diagonale e teilt das Viereck in zwei Dreiecke: eins mit den Seiten a, e, d und eins mit den Seiten b, c, e.
Ebenso teilt die Diagonale f das Viereck in zwei entsprechende Dreiecke (a,b,f und c,d,f)
Auf diese 4 Dreiecke wenden wir nun den Cosinus-Satz an:
(I)e²=a²+d²-2ad*cos(alpha)
(II)e²=b²+c²-2bc*cos(gamma)
(III)f²=a²+b²-2ab*cos(beta)
(IV)f²=c²+d²-2cd*cos(delta)
Nun wissen wir, dass gamma=180°-alpha und delta=180°-beta ist und somit wird aus cos(gamma)=-cos(alpha) und aus cos(delta)=-cos(beta).
3. Nun habe ich die ersten beiden Gleichungen kombiniert und somit einen Ausdruck für cos(alpha) erhalten, der nur a,b,c und d enthält:
cos(alpha)=(1/2)*(a²-b²-c²+d²)/(ad+bc)
Ebenso mit den unteren beiden für beta:
cos(beta)=(1/2)*(a²+b²-c²-d²)/(ad+cd)
4. Nun kommt der Teil, für den man sehr viel schreiben muss:
Man berechnet e²*f², mit (I) und (III), multipliziert 16 Terme aus und erhält einen ewig langen Bruchstrich mit (ad+bc)(ab+cd) im Nenner und tausenden von Summanden im Zähler.
5. Um zu zeigen, dass das identisch mit (bd+ac)² ist, schreibt man
(bd+ac)² = b²d²+2abcd+a²c² und erweitert die rechte Seite mit (ad+bc)(ab+cd), um den gleichen Nenner wie in Schritt 4. zu bekommen und multipliziert widerum den Zähler aus.
Nun stellt man fest, dass die beiden Ausdrücke ausmultipliziert identisch sind, d.h. wir haben bewiesen, dass
e²f²=(bd+ac)²
Da alle Variablen für positive Längen stehen, darf man nun einfach die Wurzel ziehen und erhält
ef=bd+ac
q.e.d.
Dass das einfacher gehen muss, ist mir klar, aber so funktioniert's.
Ich hoffe, ich konnte irgendwie helfen.
Ciao
Cosine |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. September, 2000 - 22:22: |
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Hi nochmal!
Ich habe vergessen zu erwähnen, wie ich die Aussage alpha+beta=180° bewiesen habe:
Ich habe mich mal damit zufrieden gegeben, das für den Fall, dass M im Innern des Vierecks ist, zu zeigen, obwohl das höchstwahrscheinlich keine Voraussetzung ist.
Am Anfang verbinden wir alle Eckpunkte A,B,C,D mit dem Kreismittelpunkt M. Das ergibt beim Kreismittelpunkt vier Winkel:
Winkel(AMB), Winkel(BMC), Winkel(CMD), Winkel(DMA).
Über den letzten Winkel(DMA) lässt sich sagen, dass dieser den Wert
360° -Winkel(AMB) -Winkel(BMC) -Winkel(CMD)
hat, weil sich die vier Winkel ja zum Vollwinkel 360° ergänzen müssen.
Jetzt kann man mit Winkelsummensätzen in den gleichschenkligen Dreiecken die Winkel alpha, beta, gamma und delta mit Hilfe der Winkel
Winkel(AMB), Winkel(BMC) und Winkel(CMD) darstellen und dann ergibt sich daraus, dass alpha+gamma=beta+delta=180°.
Jetzt hoffe ich nur noch, dass meine Skizze funktioniert.
Ciao
Cosine |
Niels
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. September, 2000 - 16:40: |
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Good Morning Cosine!!!
Meine Güte hast du dich ins Zeug geschmissen...:-)
Dein Beweis fürb ac*bd=ef ist nicht schlecht. Allerdings stören mich dabei die "unfangreichen Umformungen". Außerdem meinte ich eigentlich mit dem "Satz des Ptolemäus" die Flächenformel für sehenenvierecke.
A=Ö((s-a)*(s-b)*(s-c)*(s-d))
Wobei s=a+b+c/2 ist.
Zu deinen Winkeln:
Das wäre nicht nötig gewesen...:-)
ich habe die Zusammenhänge a.D mit den Peripherie-zentrieWinkelsatz hergeleitetr. (Geht einfacher und schneller!)
Trotzdem danke "Cosine"!
Ciao Niels |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. September, 2000 - 17:15: |
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Hi Niels!
Dass das nicht nötig gewesen wäre, ist mir klar, aber es übt... Nur schade, dass es ein anderer Satz ist, aber ich konnte schließlich nicht wissen, dass dieser komische Grieche mehr als einen Satz aufstellt...
Den Peripherie-zentrieWinkelsatz kenne ich leider nicht. (Mit Geometrie kenne ich mich nicht so gut aus...)
Noch ne Frage: Ist die Formel wirklich s=(a+b+c)/2 ? Ich meine, ich sehe die jetzt zum ersten Mal, von daher habe ich keine Ahnung, aber wenn schon, dann hätte ich vermutet, dass alle vier Seiten auftauchen, also s=(a+b+c+d)/2.
Ciao
"Cosine"
P.S.: Braucht man diese komischen Sehnensätze für irgendetwas?!? ;-) |
Niels
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. September, 2000 - 18:26: |
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Hallo Cosine,
natürlich mus es s=(a+b+c+d)/2 heißen... ich war wohl noch in Gedanken bei bder heronischen Formel...
Ptolemäus war nicht irgentein komischer Griche. er verfaste damals (Und das ist nicht ganz 2000 Jahre her) eine Abhandlung über das damalige wissen über Trigonometrie.
übrigens; keine sorge, wenn ich mal nicht wieder "außerschulisch" unterwegs gewesen wäre, wüßte ich ihn heute auch nicht...den Peripherie-Zentriwinkelsatz meine ich...
Wünscht der Herr eine Herleitung dieses satzes?
Ciao niels |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. September, 2000 - 21:42: |
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Hi Niels!
Naja, vielleicht zuerst einmal eine Beschreibung, was der Satz eigentlich aussagt...
Ciao Cosine |
Niels
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. September, 2000 - 13:27: |
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Hallo Cosine,
ich finde, der Name dieses Satzes sagt schon viel über seinen Inhalt aus.
Peripheriewinkel=Umfangswinkel über einer Sehne
zentriewinkl=Mittelpunktswinkel über der gleichen Sehne.
Satz:
der Umfangswinkel über einer Sehene ist halb so groß wie der mittelpunktswinkel über der Gleichen sehne
Wie gesagt, auf wunsch gibt es mal heute die Herleitung dieses Satzes gratis.
Gruß N. |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. September, 2000 - 17:23: |
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Hi Niels!
Wenn es die Herleitung wirklich gratis ist, dann sage ich nicht "Nein". :-)
Soll heißen: "Ja, wäre daran interessiert...", wenn es Dir nicht zuviel Umstände macht.
Ciao
Cosine |
ari
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. September, 2000 - 09:00: |
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Hi zusammen,
leider scheinen im Mathe-Unterricht viele Sätze vom Himmel zu fallen; Sinn und Zweck bleibt unklar. Also, wenn's Euch interessiert, zum Satz des Ptolemäus, wie Cosine ihn beschrieben und bewiesen hat, habe ich Folgendes gelesen:
Anlaß war die Erstellung einer möglichst genauen Tabelle von Sinus-Werten (was wir heute mit dem Taschenrechner erledigen). Allerdings gab's damals noch keinen Sinus, sondern Sehnen im Kreis. Wenn man in einen Kreis eine Sehne zeichnet, die den Mittelpunktswinkel alpha hat, dann hängen Sehne und Sinus so zusammen:
sehne(alpha) = 2* sin(alpha/2)
Vor Ptol. hat schon ein gewisser Hipparch solche Tabellen erstellt, er kam aber nicht weit. Er hatte zwei Formeln entwickelt:
Berechnung von sehne(alpha/2), wenn sehne(alpha) bekannt
Berechnung von sehne(180°-alpha), wenn sehne(alpha) bekannt
Mit einigen Startwerten [z.B. sehne(90°)=Wurzel(2) / 2] hat er es geschafft, eine Sehnentafel für folgende Winkel aufzustellen:
sehne(7,5°), sehne(15°), sehne(22,5°), ..., sehne(180°)= 2*Kreisradius. Die Schrittweite der Winkel war also 7,5°.
Ptolemäus hat es mit seinem Satz geschafft, die Schrittweite auf 1/2° runterzudrücken (also sehne(1/2°), sehne(1°), sehne(3/2°), ... zu berechnen). Und das schaffte er immerhin auf 5 Stellen genau.
Er brauchte dazu nur die Sehne CD in Cosines Zeichnung zum Kreisdurchmesser zu machen und konnte damit aus den Werten sehne(alpha) und sehne(beta) dann den Wert sehne(alpha + beta) mit Hilfe seines Satzes berechnen. Man kann -mit gutem Willen- aus der Zeichnung die Formeln für sin(alpha+beta), sin(alpha-beta) herauslesen.
Wozu das Ganze: um Sternkataloge zu erstellen, um den täglichen Stand der Sonne auf der Ekliptik oder dem Äquator zu bestimmen.... Anwendung war also die Astronomie.
Nebenbei: Kopernikus hat ebenfalls solche Tabellen aufgestellt, und zwar mit absolut den gleichen Formeln wie Ptolemäus. Dennoch kam Kopernikus zu einem gänzlich anderen Weltbild. Während für Ptolemäus die Erde im Mittelpunkt stand, setzte Kopernikus die Sonne in die Mitte, um die die Erde kreist. Woraus man auch sehen kann, daß der Einfluß der Mathematik auf unser verändertes Weltbild gleich Null ist.
Quelle: Braunmühl, Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie.
Ciao |
franz
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. September, 2000 - 11:42: |
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Für den historischen Exkurs herzlichen Dank!
Woher willst Du wissen, daß dieser Satz aus dem Schulunterricht stammt und dort ohne Hintergrund "vom Himmel fiel"? Und selbst wenn dem so wäre: Natürlich sollten gelegentlich geschichtliche Zusammenhänge eingeflochten werden. Aber immer und überall geht das nicht.
Zweiter Widerspruch: Die Rolle der Mathematik sehe ich anders. Selbst in diesem konkreten Vergleich dürfte das Instrumentarium der beiden unterschiedlich gewesen sein. (Wenngleich natürlich kein linearer Zusammenhang Mathematik / Philosophie besteht.) Franz |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. September, 2000 - 16:56: |
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Hi ari und franz!
Der Satz stammt höchstwahrscheinlich nicht aus dem Schulunterricht, wie Niels -glaube ich- irgendwo gesagt hat, sondern aus Lektüre seinerseits, aber trotzdem ist es wahr, dass in der Schule manchmal Sätze durchgenommen werden, von denen nicht ganz klar ist, wofür man sie braucht.
Deshalb Vielen Dank an ari! Es ist immer interessant, eine praktische Anwendung für Teilgebiete der Mathematik zu finden.
Zum Zusammenhang Mathematik-Philosophie-Weltbild ließen sich wahrscheinlich ganze Vorlesungsreihen füllen. Wenn Ihr also wollt, könnt Ihr das gerne noch weiterdiskutieren.
In diesem Sinne,
nochmal danke an ari und
Ciao.
Cosine |
Niels
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. September, 2000 - 19:37: |
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Hallo zusammen!!
Zu dir "cosine":
Du solltest mal deine letzten Mails an. Die Herleitung des Peripherie-Zentriewinkelsatzes habe ich dir persönlich schon "gratis" gemailt :-)
kleine Korrektur:
Der Satz-besser gesagt, die Sätze-fielen nicht im untericht vom Himmel sondern das Interresse an der Herleitung des "Satzes v. Ptolemäus" entspringt-wie Franz sich ausdrücken würde-meinen Nachhaltigen Mathematischen...(Wie hast du dich nochmal ausgedrücktb Franz?).
Der Geschichtliche Hintergrund war jedenfalls für mein Interresse wniger ausschlaggebend.
Wie siehts mit der Herleitung aus?
übrigens; wenn allgemeines Interresse am Peripherie-zentriewinkelsatz besteht, stelle ich die Herleitung nochmal ins Board.
Gruß N. |
franz
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. September, 2000 - 11:35: |
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Der PTOLEMAEUS Satz läßt sich beweisen durch eine SIMSON Gerade (spezielles Lotfußpunkt-Dreieck eines Punktes P gegenüber einem Dreieck). F. |
Niels
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. September, 2000 - 18:22: |
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Hallo Franz,
Ich muß sagen; sehr aufschlußreich deine Erklärung:-)
Naja; ich will ja nicht undankbar erscheinen, aber etwas mehr an Erklärung wäre nicht schlecht. Du scheinst mirb in der Beziehung ein "Minimalist" zu sein...
Aber Morgern bekomme ich entlich die von dier empfolene Enzyklopädie...
Vieleicht kann ich dann mit deinen Außfürungen mehr anfangen....
Ciao Niels
ps: Trotzdem Danke für deine Bemühungen:-) |
franz
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. September, 2000 - 09:26: |
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Hallo Niels, PTOLEMÄUS wurde bereits bewiesen, deshalb nur die kurze Anmerkung. Jener Weg über die Lotfußpunkte läßt sich textmäßig nur sehr zerrig darstellen, da siegt eher die Faulheit. Franz |
Niels
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. September, 2000 - 10:48: |
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Hallo Allerseits,
-umn nochmal auf meine Anfrage zur herleitung der Flächenformel zurückzukommen...-
Damit ich die Flächenformell für allgemeine Vierecke und damit die Flächenformel für Sehnenvierecke beweisen kann, muß ich den Term:
(4Av)²+(a²+d²-b²-c²)²=4*(a²d²+b²c²-2abcd*cos2e
auf die Form:
16Av=(a+d+b-c)*(a+d-b+c)*(b+c+a-d)*(b+c-a+d)-16abcd*cos²e
bringen.
a;b;c;d....Seiten im allgemeinen Viereck
a+b+c+d=2s=u/2
2e=a+c
Wie bekomme ich diese Umformung zu stande?
Danke im Voraus
Gruß N. |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. September, 2000 - 22:23: |
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Hi Niels!
In Deiner oberen Gleichung scheint mir eine Klammer zu fehlen. Wo genau hättest Du die denn gerne?
Ciao
Cosine |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. September, 2000 - 22:40: |
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Hi Niels!
Hab momentan keine Zeit, das durchzurechnen, aber ich bin der Meinung, es müsste möglich sein, wenn man beachtet, dass
cos(2e)=2cos²(e)
Dann erhälst Du schonmal den Ausdruck 16abcd*cos²ee (vorausgesetzt, die fehlende Klammer sitzt ganz am Ende der Zeile)
Nun bliebe also nur noch zu zeigen, dass
(a+d+b-c)*(a+d-b+c)*(b+c+a-d)*(b+c-a+d)
das Selbe ist, wie
4a²d²+4b²c²+8abcd-(a²+d²-b²-c²)²
Es gibt bestimmt eine elegante Methode, wie man das zeigen kann, aber stures Ausmultiplizieren und Vergleichen der Terme müsste auf jeden Fall zum Ziel führen, auch wenn es eine ziemlich nervige Arbeit werden könnte...
Ciao
Cosine |
Niels
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. September, 2000 - 12:05: |
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Hallo Cosine!
Du hast recht. Hinter ...cos2e fehlt eine abschließende klammer.
War nicht noch
cos2e02cos²e-1
Wie gesagt, wäre für diese kleine lächerliche Hilfe bei der Umformung Dankbar!
Ciao Niels |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. September, 2000 - 23:09: |
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Hi Niels!
Du hast Recht. Selbstverständlich ist cos2e=cos2e -1
Mein Fehler...
Also Du hast gesagt, Du hättest die Gleichung
(4Av)²+(a²+d²-b²-c²)²=4*(a²d²+b²c²-2abcd*cos2e )
gegeben.
Das wäre also identisch mit:
16Av²= -(a²+d²-b²-c²)²+4a²d²+4b²c²-8abcd*cos2e
Wenden wir nun die trigonometrische Geschichte an und erhalten:
16Av²= -(a²+d²-b²-c²)²+4a²d²+4b²c²-8abcd*(2cos2e-1)
16Av²= -(a²+d²-b²-c²)²+4a²d²+4b²c²-16abcd*cos2e+8abcd
Wenn man nun die Strategie verfolgt, alles auszumultiplizieren (ich habe noch keine bessere gefunden), dann dürfte (a²+d²-b²-c²)² das größte Problem sein:
(a²+d²-b²-c²)²=((a²+d²)-(b²+c²))²=(a²+d²)²-2(a²+d²)(b²+c²)+(b²+c²)²
=a4+2a²d²+d4-2(a²b²+a²c²+b²d²+c²d²)+b4+2b²c²+c4
=a4+b4+c4+d4 -2a²b²-2a²c²+2a²d²+2b²c²-2b²d²-2c²d²
2a²b²+2a²c²-2a²d²-2b²c²+2b²d²+2c²d²
Das eingesetzt in die obere Zeile ergibt schließlich die Gleichung:
16Av²= a4+b4+c4+d4 +2a²b²+2a²c²-2a²d²-2b²c²+2b²d²+2c²d²+4a²d²+4b²c²-16abcd*cos2e+8abcd
Damit hätten wir also Deine obere Gleichung in der völlig ausmultiplizierten Form:
16Av²= a4+b4+c4+d4+2a²b²+2a²c²+2a²d²+2b²c²+2b²d²+2c²d²+8abcd-16abcd*cos2e
Nun sollten wir uns den Term (a+d+b-c)*(a+d-b+c)*(b+c+a-d)*(b+c-a+d)
vornehmen und diesen ebenfalls völlig ausmultiplizieren.
(a+d+b-c)*(a+d-b+c)*(b+c+a-d)*(b+c-a+d)
=(-a+b+c+d)*(a-b+c+d)*(a+b-c+d)*(a+b+c-d)
Die linken beiden Klammern ergeben:
(-a+b+c+d)*(a-b+c+d)=-a²+ab-ac-ad+ab-b²+bc+bd+ac-bc+c²+cd+ad-bd+cd+d²=-a²-b²+c²+d²+2ab+2cd
Die rechten beiden Klammern ergeben:
(a+b-c+d)*(a+b+c-d)=a²+ab+ac-ad+ab+b²+bc-bd-ac-bc-c²+cd+ad+bd+cd-d²=a²+b²-c²-d²+2ab+2cd
Somit ist
(-a+b+c+d)*(a-b+c+d)*(a+b-c+d)*(a+b+c-d)
=(-a²-b²+c²+d²+2ab+2cd)*(a²+b²-c²-d²+2ab+2cd)
Meine Vermutung ist folgende: Wenn man diese beiden Klammern ausmultipliziert und dann alles irgendwie zusammenfasst, dann kommt
a4+b4+c4+d4+2a²b²+2a²c²+2a²d²+2b²c²+2b²d²+2c²d²+8abcd
heraus.
Falls das der Fall ist, dann hätten wir gezeigt, dass man für den Ausdruck
a4+b4+c4+d4+2a²b²+2a²c²+2a²d²+2b²c²+2b²d²+2c²d²+8abcd
immer
(a+d+b-c)*(a+d-b+c)*(b+c+a-d)*(b+c-a+d)
schreiben kann.
Also dürfen wir in der oberen (ausmultiplizierten) Gleichung den eben diesen Ausdruck ersetzen und schon sind wir bei Deiner unteren Gleichung.
q.e.d.
Gute Nacht!
Ciao
Cosine |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. September, 2000 - 23:37: |
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Hmmm... Ich sehe gerade, dass das gar nicht sein kann, da zumindest bei a4, b4, c4 und d4 ein falsches Vorzeichen auftritt...
Dann habe ich mich in dieser Ausmultiplizier-Aktion wohl irgendwo vertan...
Tut mir furchtbar traurig, aber ich werde das jetzt nicht noch mal durchgehen...
Übrigens: Wenn irgendjemand eine bessere Methode kennt, um das zu beweisen, ohne diese fehleranfällige "Holzhammer"-Methode verwenden zu müssen, wäre ich auch durchaus interessiert.
Jetzt aber wirklich Gute Nacht!
Ciao
Cosine |
Niels
| | Veröffentlicht am Samstag, den 30. September, 2000 - 11:40: |
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Hallo kolegen,
...Tschä...
"Da gucken sie wohl wie gekochte Frösche" (hätte jetzt mein Mathelehrer gesagt...)
hat von euch immer nochg keine idee, wie man geschickt umformen könnte?-
Gruß N.
ps: Danke nochmals im Voraus!!! |
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