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Beitrag |
    
Sebastian
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. August, 2000 - 15:21: | 
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Wie Beweise ich das Qudratwurzel aus 2 + 2/3 eine irrationale Zahl ist? |
Andre
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. August, 2000 - 14:05: |
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Ich schaetze mal, genauso, wie man beweist,
das W2 irrational ist...
Folgende Rechnung ohne Gewaehr (ist schon zu
lange her...)
Also Gegenannahme, 2+2/3 ist rational,
dann existiert ein Bruch p/q = sqr(2+2/3)
Quadrierung dieser Gleichung bringt
p^2 / q^2 = 2 + 2/3
Zusammenfassen
p^2 / q^2 = 8/3
Nun muss man argumentieren. Seien p1..pn die
Primfaktoren von p und q1...qn die Primfaktoren
von q. Dann besitzt p^2 die Primfaktoren
p1*p1*p2*p2*p3*p3*...*pn*pn
(genauso bei q1...qn)
d.h. jeder Primfaktor kommt genau eine gerade
Anzahl mal vor (d.h. 2x,4x,6x, etc.)
Dass gilt auch fuer die 2.
Damit als Ergebnis von p^2 / q^2 8/3 herauskommen kann, muss 3 ein Teiler von q1 sein
und 2 muss ein Teiler von p1 sein. Wenn die
2 in p1 v mal vorkommt und in q1 w mal vorkommt,
dann jeweils doppelt sooft in den Potenzen, was
bewirkt, dass nach der Division eine gerade Anzahl von 2er Primfaktoren ueberbleibt. Und da 8 nur
aus 3 2ern erzeugt werden kann, ist dies nicht
moeglich... (8 = 2*2*2)
Ich hoffe, dass ist richtig so...
(Man kann das natuerlich etwas gestrafft schreiben, nur zum Verstaendnis halt...)
Andre |
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