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myriamgierth
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. August, 2000 - 16:20: | 
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Hallo, ich brauche diese Aufgabe für morgen.
Man kann die Wurzel aus 2 nicht als bruch schreiben. Erkläre den Beweis von Euklid!
Bitte helft mir, denn ich weiß nicht, wie ich den erklären soll. Es ist dringend!
Gruß
Myriam |
Julia
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. August, 2000 - 17:34: |
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Hi Myrjam!
Der einfachste Beweis dafuer, dass Wurzel(2) sich nicht als Bruch schreiben laesst, also keine rationale Zahl ist, geht mit Widerspruch. Das heisst, man nimmt an, Wurzel(2) lasse sich als Bruch schreiben und folgert daraus etwas, das offensichtlich nicht gilt. Also:
Nimm an, man koenne schreiben
Wurzel(2) = p/q
wobei die Bruchdarstellung gekuerzt ist, das bedeutet, p und q sind zwei teilerfremde natuerliche Zahlen.
Wir quadrieren auf beiden Seiten und erhalten:
2 = p^2/q^2
(^2 steht fuer hoch 2)
Bringe q^2 auf die andere Seite durch Multiplizieren damit:
2*q^2 = p^2
Das heisst, p^2 ist durch 2 teilbar. Weil zwei eine Primzahl ist, muss dann aber auch schon p durch zwei teilbar gewesen sein. Das heisst, es gibt eine natuerliche Zahl r so dass p gleich 2*r ist. wir setzen das in die Gleichung ein:
2*q^2 = (2*r)^2
und loesen die rechte Seite auf:
2*q^2 = 2*r*2*r = 4*r^2
Auf beiden Seiten durch 2 teilen liefert:
q^2 = 2*r^2
Dann ist also auch q^2 durch zwei teilbar, und (wieder weil 2 eine Primzahl ist) damit auch q.
Das ist aber ein , denn dann waere 2 ein gemeinsamer Teiler unserer Zahlen p und q, die aber teilerfremd sein sollten.
Das bedeutet, unsere Annahme (dass man Wurzel(2) als Bruch schreiben kann) war falsch, und wir haben bewiesen, dass man Wurzel(2) NICHT als Bruch schreiben kann.
Ich habe keine Ahnung, ob das der Beweis von Euklid ist oder ob der einen anderen hatte.
Gruesse
Julia |
Stefan Beck (Sandman27)
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Februar, 2001 - 15:59: |
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Seid ihr euch da ganz sicher ? Erst mal ist das Potenzieren keine Äkvivalezumformung ( 1. Schritt ). Und warum soll bei der Gleichung 2*q^2=p^2 "p^2" durch 2 teilbar sein ? Wenn ich p = 5 teile, also p^2 = 25 habe, dann ist das überhaupt nicht durch zwei Teilbar. Kann mir das noch mal jemand erklären ? |
thalesx
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Februar, 2001 - 16:38: |
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Hi Stefan!
ich hoffe ich kann dir helfen und ein bischen klarheit in die Sache bringen...
Natürlich ist p^2 nur dann durch 2 teilbar wenn es auch die Gleichung erfüllen soll.
Das Quadrieren ist in sofern in diesem Fall kein Problem, weil wir O.B.d.A annehmen, das p und q positiv sind.
Man könnte natürlich auch ne Fallunterscheidung machen (p positiv, q negativ,...) aber das würde am Ergebnis nichts ändern. Interessant ist bei der Schlußfolgerung nur, das sowohl p als auch q durch 2 teilbar sind. Dies ist auch dann der Fall wenn diese unterschiedliche Vorzeichen haben.
Aber zurück zum Anfang und nochmal etwas ausführlicher:
Nach Quadrieren erhält man 2*q^2=p^2
Das heißt p ist eine ganze zahl, deren Quadrat gerade ist. Das wiederum bedeutet, das auch p selbst gerade sein muß um obige gleichung zu erfüllen.
Wenn du jetzt einfach p=5 setzt, erhältst du keine wahre Aussage für den Ausdruck 2*q^2=p^2
Infolge dessen darf man p in der Form 2k schreiben, da p gerade sein muß
daraus folgt: 2*q^2=(2*k)^2
Dieser Ausdruck läßt sich kürzen, was einen widerspruch zur Annahme das p und q teilerfremd sind darstellt! Also ist die Annahme falsch und der Satz bewiesen. |
Stefan Beck (Sandman27)
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Februar, 2001 - 20:36: |
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Ok, jetzt klingt das einleuchtend. Vielen Dank für die ausfürliche Erklärung !!
Gruß
Stefan |
Thalesx (Thalesx)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Februar, 2001 - 14:10: |
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Bin froh das ich helfen konnte! |
Gina
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Februar, 2001 - 18:23: |
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Ich hab da auch mal ne Frage.
Wir haben diesen Beweis auch mal gemacht. Ich verstehe den Beweis auch, aber warum muss p/q ein vollständig gekürzter Bruch / Primzahlen sein????
Vielleicht kann mir das hier ja mal endlcih jemand erklären!
Schon mal danke Gina |
thalesx
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Februar, 2001 - 19:57: |
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wir wollen beweisen, das Wurzel 2 nicht durch einen Bruch darzustellen ist. Dieser Bruch könnte natürlich gekürzt sein, müßte aber eigentlich nicht.
Aber um den Satz zu beweisen müssen wir bei diesem Beweisverfahren einen Widerspruch finden, und der ergibt sich am leichtesten wenn man direkt einen gekürzten Bruch betrachtet. |
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