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rainbow
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. August, 2000 - 00:02: | 
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Wie würdet ihr vorgehen wenn es einen Beweiß zu führen gilt über ein Flächeninhaltsproblem? Wohlgemerkt funktioniert der Beweiß nicht über "Wiederspruch!" und ich darf euch auch nicht die Aufgabenstellung verraten da sie für einen laufenden Wettbewerb ist. Nur ich habe einfach so gar keinen Ansatz! Irgendwelche Vorschläge???
rainbow |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. August, 2000 - 09:53: |
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Das nenne ich fairen Sportsgeist, dass du dich an die Wettbewerbsregeln hältst. War in der Vergangenheit hier am Board nicht immer üblich. Leider ist es ziemlich schwierig, Tipps zu geben, wenn über die Aufgabestellung überhaupt nichts bekannt ist. Bei Flächeninhaltsproblemen würde ich sagen: Ausrechnen. Tja, dieser Tipp macht dich wahrscheinlich auch nicht schlauer.
P.S. Es heißt "Beweis" und "Widerspruch". |
Niels
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. August, 2000 - 08:54: |
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Hallo Rainbow,
wenn es um geometrische Beweisfürung geht ist es vo vorteil wenn du dich mit:
-Flächenverwandlung (z,b. scherung)
-Kongruenz und Änlichkeitssätze
-Strahlensätze
-Winkelsätze
-Pythagoras
-sätze am Kreis(z.b. sehnensatz..)
-Grundkonsruktionen (1-14)
gut auskennst und anwenden kannst.
Bei welchen Wettbewerb machst du mit? (wenn ich fragen darf)
Gruß N. |
rainbow
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. August, 2000 - 16:44: |
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Zaph: Ups !! Tja Mathe 1 und Deutsch 0 oder so ähnlich. Werds mir merken!
Niels: Ich versuche es mal ob ich was davon gebrauchen kann. Rechnerisch läuft's immer auf unbeweisbare (wahre Aussagen zählen meist ja eh nicht) Monsterrechnungen mit nem Dutzend Unbekannten raus.
Der Wettbewerb bietet allen 9ern und 10ern in Hessen die Möglichkleit sich für ein Auswahlseminar zu qualifizieren in dem dann die Teilnehmer der Matheolympiade nominiert werden. Das ist immer ganz lustig letztes Jahr hab ich trotz eher mangelnder Bearbeitung hingeschafft. Diesmal sieht's sehr viel besser aus von vier Aufgaben hab' ich drei und nur bei der dämlichen Geometrieaufgabe geht's nicht weiter!
Die Aufgaben stell ich bei Gelegenheit (nach dem Abgabetermin - ich bin einer von den ekligen ehrlichen Schülern, ärgert mich selbst ständig) hier mal aus. Sind ganz lustig.
Thanks rainbow |
rainbow
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. September, 2000 - 15:01: |
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Also jut.
Verzweifle wie ich!! Erlaubt ist Stoff der Mittelstufe! (kein Cosinus etc)
Gg: ein gleichseitiges Dreieck im inneren ein Punkt P , Die Strecken von P in die Ecken A B und C des Dreiecks und die Strecken zu den Lotpunkten von P auf allen Seiten teilen das dreieck in 6 Teildreiecke. Diese seien abwechselnd gefärbt (drei schwarz drei weiß wobei keine gleicher Farbe nebeneinander liegen)
Zu Zeigen ist jetzt das der Flächeninhalt der weißen gleich dem der schwarzen ist.
Ich weiß der Text hört sich dumm an, wenn du meine Ausdrucksweise net so ganz checkst sags und ich tipp die Original Aufgabenstellung ab.
FF - viel vergnügen
rainbow |
Niels
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. September, 2000 - 18:38: |
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Hallo Rainbow,
Wen meinst du mit "Du"?-mich oder Zaph?...:-)
Zu deiner Aufgabe:
Flächengleichheit bedeutet Kongruenz.du mußt also beweisen-mit hilfe der von mir so hoch gepriesenen kongruenzsätze-, das das weße Dreieck und das schwarze Dreieck kongruent sind.
Dazu gebe ich dir 2 Tipps:
-jedes Dreieck besitzt ein rechten Winkel
-Außerdem wäre der Satz von Ceva hilfreich...
Mal schauen wie weit du kommst...
Gruß Niels |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. September, 2000 - 20:07: |
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Hi Rainbow, läuft der Wettbewerb etwa noch??
Hi Niels, die Summe der schwarzen Dreiecke ist gleich der Summe der weißen. Die Dreiecke sind nicht paarweise kongruent. |
rainbow
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. September, 2000 - 13:55: |
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HI
Abgabetermin ist in zwo Wochen - ich will also noch keinerlei Lösungen !!! Sorry ich dachte das wär klar. Niels wie Zaph sagte wir gehen von drei Dreiecken pro Farbe aus und deren Summe(!) ist gleich. Naja ich habe die Aufgabe eigentlich abgeschrieben (im sinne von verworfen) und konzentriere mich auf die anderen drei, diese müßten eigentlich reichen. Am 15. will ich's dann aber wissen!!!
Vielleicht habt ihrs bis dahin ja.
:-)
rainbow |
Niels
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. September, 2000 - 15:44: |
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Hallo rainbow,
entschuldige das zaph und ich schon geantwortet haben...:-)
Allerdings bin ich jetzt doch wieder ins grübeln gekommen...
Könntest du doch bitte den Originaltext abtippen?
Zaph uned ich (denke ich) basteln mal an der Lösung...
Gruß N. |
rainbow
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. September, 2000 - 20:43: |
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Morgen kommt er! |
rainbow
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. September, 2000 - 11:46: |
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In einem gleichseitigem Dreieck ABC liegt ein Punkt P. Die Fußpunkte der Lote von P auf die Seiten des Dreiecks sind D, E und F. Die Dreiecke APF, CPE und BPD werden straffiert. Zeige das der straffierte Teil des Dreiecks ABC den gleichen Flächeninhalt hat wie der nicht straffierte. Betrachte zunächst den Sonderfall, dass P auf der Seite AB liegt.
Viel Spass damit :-)
rainbow |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. September, 2000 - 21:44: |
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Das ist aber ein wirklicher Hammer!!! Bei der Skizze, die ich angefertigt habe, stimmt die Aussage wenigstens so einigermaßen. Die Differenz führe ich auf meine Zeichenungenauigkeit zurück. Mit dem jetzt zusätzlichen Hinweis ("Betrachte zunächst den Sonderfall ...") werde ich es noch einmal versuchen.
Habe ich das richtig verstanden, es handelt sich um eine Vorqualifikation für Schüler der 9. und 10. Klasse zur Mathematikolympiade?
Gruß Zaph |
rainbow
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. September, 2000 - 08:20: |
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Jepp!
Aber sehr beruhigend das selbst du sie nicht auf anhieb knacken kannst - ich dachte schon ich wäre doof.
Peace rainbow |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. September, 2000 - 16:03: |
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Ich hab's :-)
Mein allererster Tipp hat sich doch als garnicht so schlecht erwiesen. Ich habe es gnadenlos ausgerechnet!
Mehr dazu, wenn der Wettbewerb vorbei ist. |
franz
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. September, 2000 - 16:05: |
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Keine geometrische Lösung? F |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. September, 2000 - 16:20: |
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Nein, leider nicht. |
rainbow
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. September, 2000 - 21:13: |
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Ganz sicher Zaph das du's hast???
Wenn ja - glückwunsch - du schaffst in drei Tagen was ich in drei Monaten nicht gebacken gekriegt habe... Egal was ich auch angestelle (und ich habe es verdammt oft versucht) Beginne ich mit der Behauptung sie wären gleich komme ich auf eine daraus (!) resultierende Aussage - beginne ich mit alg. vorraussetzungen komme ich auf andere allg Vorraussetzungen... Ich bin verdammt gespannt auf Freitag. |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. September, 2000 - 13:29: |
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Das will ich doch hoffen, dass ich's hab! Sei nicht gefrustet, wenn du nicht rausbekoomen hast, was ich in drei Tagen geschafft habe. Schließlich habe ich meine Mathe-Ausbildung schon hinter mir, und da lernt man im Laufe der Zeit viele Tricks kennen. Umgekehrt war ich gefrustet, weil ich an einer Aufgabe für die 9. Klasse gescheitert bin ...
Ich werde meine Lösung aufschreiben und nächstes Wochenende hier hin stellen. |
franz
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. September, 2000 - 11:45: |
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Über Lotfußpunktdreiecke habe ich etwas gelesen, Richtung PTOLEMAEUS, aber leider (noch) keinen Zusammenhang zum genannten Satz, trotz so eines komischen Gefühls. :-) F. |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. September, 2000 - 23:14: |
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Guten Morgen FAbi,
ich hoffe, du bist parat für eine etwas längere Rechnung. Ich führe nicht jedes Detail aus. Frag bitte, wenn irgend etwas unklar ist.
Gegeben sei das gleichseitige Dreieck mit den Ecken A, B und C.
Wir legen ein Koordinatensystem so, dass A im Ursprung, B auf der positiven x-Achse und C im ersten Quadranten liegt. Eine Einheit sei die Seitenlänge des Dreiecks.
Lange Rede, kurzer Sinn:
A = (0,0)
B = (1,0)
C = (1/2,Ö3/2)
Das Dreieck hat den Flächeninhalt Ö3/4.
Der Punkt P habe die Koordinaten
P = (a,b).
Die Koordinate a und b seien fest, aber beliebig. In Abhängigkeit von a und b sollen jetzt die Koordinaten von D, E und F berechnet werden. Es gilt
F = (a,0)
Um D zu berechnen, betrachte die Geraden g1 durch B, C und g2 durch D, P. D ist Schnittpunkt dieser beiden Geraden. Es gelten die Geradengleichungen
g1: Ö3 x + y = Ö3
g2: x - Ö3 y = a - Ö3 b
Hieraus ergibt sich
D = ((3 + a - Ö3 b)/4 , (Ö3 - Ö3 a + 3b)/4)
E ist der Schnittpunkt der Geraden g3 durch A, C und g4 durch E, P. Es gilt
g3: Ö3 x - y = 0
g4: x + Ö3 y = a + Ö3 b
und hieraus
E = ((a + Ö3 b)/4 , (Ö3 a + 3b)/4)
Nun kommen ein paar Zwischenüberlegungen, die später benötigt werden.
Da a < 1 und b > 0, folgt
(I) 1 - a + Ö3 b > 0
Da P = (a,b) auf derselben Seite von g1 liegt wie A = (0,0), folgt
Ö3 a + b < Ö3
bzw.
(II) Ö3 - Ö3 a - b > 0
Da P = (a,b) auf derselben Seite von g3 liegt wie B = (1,0), folgt
(III) Ö3 a - b > 0
Betrachte jetzt noch die Gerade g5 mit der Gleichung
g5: x + Ö3 y = 2
Diese Gerade enthält C und (2,0). P liegt auf derselben Seite von g5 wie A. Also folgt
a + Ö3 b < 2
bzw.
(IV) 2 - a - Ö3 b > 0
Ende der Zwischenüberlegungen.
Jetzt sollen d, e, f, r, s und t (siehe Skizze) berechnet werden. Es gilt
f = a
t = b
Die Entfernung zwischen zwei Punkten Q = (x1,y1) und R = (x2,y2) beträgt
Ö((x1 - x2)² + (y1 - y2)²)
Mit dieser Formel werden d, e, r und s berechnet. Nach etwas längerer Rechnung ergibt sich
d = Ö(1 + a² + 3b² - 2a + 2Ö3 b - 2Ö3 ab)
= Ö((1 - a + Ö3 b)²)/2
Es kommen nun zwei Möglichkeiten in Frage:
Alternative 1: d = (1 - a + Ö3 b)/2
Alternative 2: d = - (1 - a + Ö3 b)/2
Wegen (I) folgt, dass nur die 1. Alternative gelten kann. Also
d = (1 - a + Ö3 b)/2
Mit ähnlich umfangreichen Rechnungen und den Ungleichungen (II), (III) und (IV) folgen
e = (2 - a - Ö3 b)/2
r = (Ö3 - Ö3 a - b)/2
s = (Ö3 a - b)/2
Nebenbei: Es ergibt sich (unabhängig von a und b!)
d + e + f = 3/2
r + s + t = Ö3/2
Das aber nur am Rande.
Die Gesamtfläche F kann jetzt endlich berechnet werden:
F = F1 + F2 + F3
= f t / 2 + d r / 2 + e s / 2
= Ö3/8
q. e. d. |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. September, 2000 - 23:18: |
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Ich hab's befürchtet. Hier noch einmal die Skizze
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Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. September, 2000 - 23:25: |
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Ich hab's befürchtet. Laut Anleitung kann ich hier JPEG-Dateien einfügen. Dieser Dateityp wird aber beim Upload nicht unterstützt. Deshalb hier eine Beschreibung der Skizze:
d = Entfernung BD
e = Entfernung CE
f = Entfernung AF
r = Entfernung DP
s = Entfernung EP
t = Entfernung FP
F1 = Fläche des Dreiecks AFP
F2 = Fläche des Dreiecks BDP
F3 = Fläche des Dreiecks CEP
Noch ein Versuch:
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Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. September, 2000 - 23:29: |
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Wow!
Nebenbei:
"q. e. d." steht für lateinisch "quod erat demonstrandum", zu deutsch "was zu beweisen war". Es ist immer eine Genugtuung für einen Mathematiker, diese drei Buchstaben unter einen Beweis schreiben zu können. |
rainbow
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. September, 2000 - 21:17: |
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Hach endlich!
Kannst du dir vorstellen wie sauer ich war als ich gestern morgen nicht in Netz kam??? Irgendson Idiot hat wichtige Treiber gelöscht! Grrr... Zum Glück funktioniert jetzt (nach einer kompletten neuinstall unseres geliebten Windoofs) alles wieder. Mach dich auf meine Nachfragen gefasst ;-)
FAbi |
rainbow
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. September, 2000 - 15:10: |
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Habe gestern mit meiner Brieffeundin telefoniert!
Ich hoffe mal du ärgerst dich ebenso sehr wie ich wenn du ihre Lösung hörst:
Mit drei Parralelen zu den Dreiecksseiten durch P erledigt sich das Problem wie von selbst!
Isch könnt mir in de Popes beiße! :-)
FAbi |
Johnmaynard (Johnmaynard)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. September, 2000 - 19:57: |
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Übrigens, zu Zaphs Erklärung des q.e.d.: Ja, "Quod erat demonstrandum" ist die offizielle Lehrbuchmeinung. Ich als Lateiner weiß aber, daß es eigentlich heißen muß: "Quod erit dubitandum" - was zu bezweifeln wäre! |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. September, 2000 - 20:42: |
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Hi FAbi, noch mehr ärgere ich mich darüber, dass ich mit deinem Tipp jetzt ad hoc nicht so viel anfangen kann :-( Hast du einen weiteren Hinweis? Oder willst DU MICH jetzt zur Abwechslung ein bisschen ärgern? |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. September, 2000 - 20:44: |
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Hi John, woher weißt du denn so etwas? Ist das eine Theorie von irgedwem oder gibt es da Beweise? |
Johnmaynard (Johnmaynard)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. September, 2000 - 20:57: |
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Hi Zaph!
Ich bin Autodidakt und hab mir das ganz alleine ausgedacht :-)
Logischerweise gibt's also auch keine Beweise dfür, aber du kannst es ja mal mit vollständiger Induktion versuchen ;-)
Der Steuermann |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. September, 2000 - 21:19: |
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Dann doch lieber indirekt.
1:0 für dich. |
Fabian Spallek (Rainbow)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. September, 2000 - 11:51: |
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Nicht klar??? Cool, ich bin richtig stolz auf mich! ;-)
Zeichne doch einfach mal in deiner Skizze (mit beliebigen P) Geraden ein, die durch P gehen und parralel zu den Seiten des Dreiecks sind (ohne Bezeichnungen in der Zeichnung gehts natürlich am Besten). Man erhält dann drei Parralelogramme und drei gleichseitige Dreiecke, von denen jeweils eine Hälfte gefärbt ist. Das, dann zu beweisen dürfte geometrisch nicht allzu kompliziert sein!
Wenn nicht ganz klar ist was ich meine, sag bescheid dann beschreibe ich es nochmal etwas Mathematischer! |
rainbow
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. September, 2000 - 11:53: |
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Blöde Kommas! |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. September, 2000 - 17:34: |
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Tja, FAbi, was soll ich sagen? Langsam hab auch ich es begriffen. Asche über mein Haupt!!
Und ein Riesenkompliment an deine Brieffreundin!! |
Jill
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. September, 2000 - 17:53: |
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Danke du hast mir geholfen!! |
FAbi (Rainbow)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. September, 2000 - 15:21: |
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Zaph: ich geb's weiter :-)
Jill: ????? oder auf hessisch: HÄ? |
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