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Niels
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Juli, 2000 - 16:15: | 
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Hallo Kollegen,
Wie lauten die Lösungen der folgenden goneometrischen Gleichungen? (Im Bereich [0;2p])
sin(x-2p/3)+Ö(2)*sin(x-2p/3)*cos(2x)=0
Ich bekomme da als Lösungen:
2p/3;5p/3;3p/8;5p/8
Ich habe diese Aufgabe aus dem übungsbereich von ZahlReich(SMART).
Meine letzten beiden Lösungen differieren zu den angegebenen.
Bitte um Überprüfung!!!
Ciao
Niels |
Fern
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Juli, 2000 - 10:01: |
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Hi Niels,
Die Gleichung hat (im Bereich x=0 bis 2pi) die folgenden 6 Lösungen:
pi/3
3*pi/8
5*pi/8
3*pi/3
13*pi/8
5*pi/3
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Niels
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Juli, 2000 - 08:50: |
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Hi Fern,
das verstehe ich nicht. In SMART sind nur 4 Lösungen angegeben. Wie kommst du auf 6 Lösungen?
Außerdem differieren deine Lösungen nicht nur teilweise mit meinen, sondern auch mit den in SMART angegebenen Lösungen.
welche Lösungen sind korrekt?
Hier ist mein Lösungsweg:
1.sin(...) ausklammern:
sin(x- 2pi/3)*[1+wurzel(2)*cos(2x)]=0
Þsin(x- 2pi/3)=0
Substitution: x- 2pi/3=u
sin(u)=0
u1=0
U2=pi
x- 2pi/3=0
x1=2pi/3
x- 2pi/3=pi
x2=5pi/3
============
[1+wurzel(2)*cos(2x)]=0
cos(2x)= -0*5*Wurzel(2)
SubstitutionL: 2x=v
cos(v)= -0,5*wurzel(2)
v1= 3pi/4
v2=5pi/4
2x=3pi/4
x3=3pi/8
2x=5pi/4
x4=5pi/8
===============
Bitte überprüfe den Lösungsweg!
Danke im voraus!
Ciao
Niels |
Fern
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Juli, 2000 - 16:50: |
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Hi Niels,
Meine obige Lösung enthält Tippfehler und andere Fehler.
Es gibt 6 Lösungen:
(ich versuche es jetzt ohne Fehler)
3*pi/8
5*pi/8
2*pi/3
11*pi/8
13*pi/8
5*pi/3
Ob eine Lösung stimmt überprüft man am infachsten mit Einsetzen des Wertes in die Ausgangsgleichung: alle meine 6 Werte ergeben Null! |
Fern
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Juli, 2000 - 17:16: |
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Hi Niels nochmal,
Ich hab mir jetzt deinen Lösungsweg angesehen:
er ist richtig, nur bei
cos(v)=-0,5*W(2)
ergibt sich v=3*pi/4 und v=5*pi/4
aber auch:
v=3*pi/4+2*pi und v=5*pi/4+2*pi
und dies führt zu den Werten x=11*pi/8 und x=13*pi/8
==================================================== |
Niels
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Juli, 2000 - 19:45: |
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Hallo Fern,
ich habe da nochmal eine Frage:
Das cos(x+k*2p)=cos(x) ist mir bekannt.Nur in der Aufgabenstellung heist es man suche die Lösungen im Bereich [0;2p].
Das heist doch, das 3pi/4 +2pi (495°) und 5pi/4 +2pi (585°) nicht mehr in die Lösungsmenge gehören, weil sie nicht im Intervall [0;360°] liegen.
Oder sehe ich das verkehrt?
Ich bedanke mich jetzt schon mal bei Dir Fern im Voraus!
ciao
Niels |
Fern
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Juli, 2000 - 20:53: |
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Hi Niels,
Die Aufgabenstellung heißt: x im Bereich [0;2pi].
Wir haben aber v=2x substituiert.
Falls x=0 dann ist v=0
Falls x=2pi dann ist v=4pi
v ist also im Bereich [0;4pi]
und wir suchen alle Nullstellen von cos(v) in diesem Bereich.
v=(3/4)pi+2pi=(11/4)pi
und
v=(5/4)pi+2pi=(13/8)pi
liegen beide im Bereich für v.
Die dazugehörigen x=(11/8)pi und x=(13/8)pi liegen damit im zulässigen Bereich für die x-Werte.
Gruß,
Fern |
Fern
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Juli, 2000 - 21:16: |
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Hallo Niels,
Ich hab mal den Funktionenplotter bemüht.
Das erste Bild zeigt die Funktion im Bereich 0 bis 2pi.
Darauf kann man aber nur 4 Nullstellen erkennen.
Erst die vergrößerten Ausschnitte um x=2 und um x=5,2
zeigen, dass beide Stellen zwei verschiedene Nullstellen sind, insgesamt also unsere errechneten 6 Nullstellen.
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Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Juli, 2000 - 12:05: |
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Hi Leute!
Falls es jemanden interessiert:
Der Ausdruck
sin(x-2pi/3)+Wurzel(2)*sin(x-2pi/3)*cos(2x)
lässt sich als Produkt von drei Sinusfunktionen schreiben:
2Wurzel(2)*sin(x-2pi/3)*sin(3/8pi-x)*cos(x-pi/8)
Das macht das Nullstellenberechnen etwas einfacher.
Ciao
Cosine |
Niels
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Juli, 2000 - 18:12: |
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Hallo Cosine,
Wie hsst du die Gleichung umgeformt bekommen?
Bitte um Erklärung
Danke!
Ciao
Niels |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Juli, 2000 - 21:12: |
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Hi Niels!
Anfangen habe ich mit dem Term
T=sin(x-2pi/3)+Wurzel(2)*sin(x-2pi/3)*cos(2x)
und habe sin(x-2pi/3) aufgeklammert:
T=sin(x-2pi/3)(1+Wurzel(2)*cos(2x))
Somit haben wir die erste Sinus-Funktion.
Nun klammern wir Wurzel(2) aus, das ergibt dann
T=Wurzel(2)*sin(x-2pi/3)(1/2*Wurzel(2)+cos(2x)
Nun wissen wir ja (oder wir wissen, wo's steht), dass 1/2*Wurzel(2) das selbe ist wie sin(pi/4).
Das heißt wir haben in der hinteren Klammer nun eine Summe von zwei Sinus-Ausdrücken:
T=Wurzel(2)*sin(x-2pi/3)(sin(pi/4)+cos(2x))
Ich habe nun für cos(2x)=sin(pi/2-2x) geschrieben, um dann die hier bewiesene Formel für Summe von zwei Sinusfunktionen
sin(a)+sin(b)=2*sin((a+b)/2)cos((a-b)/2) zu verwenden.
a ist hier pi/4 , b ist pi/2-2x
Somit ergibt sich für
sin(pi/4)+sin(pi/4-2x) = 2*sin((pi/4+pi/2-2x)/2)cos((pi/4-pi/2+2x)/2)
Der Gesamtterm wird dann zu
T = 2Wurzel(2)*sin(x-2pi/3)*sin(3/8pi-x)*cos(x-pi/8)
Jetzt beim Nachrechnen ist mir aufgefallen, dass man statt cos(2x) als Sinusfunktion zu schreiben auch einfach (1/2)Wurzel(2) als Cosinusausdruck cos(pi/4) hätte schreiben können, um dann die entsprechende Cosinus-Formel zu verwenden:
cos(a)+cos(b)=2*cos((a+b)/2)*cos((a-b)/2)
Das müsste auch funktionieren.
Ich hoffe, ich konnte irgendwie helfen.
Ciao
Cosine |
Dominik Gottlieb (Aushilfs)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. November, 2000 - 20:54: |
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Hey, Ihr Mathe-Asse ! Wenn jemand von Euch gerade Lust\Zeit hat, kann er mir ja vielleicht mal etwas zur Sinusfunktion : y=sin(x)+d schreiben (Eigenschaften + Einfluss des Parameters auf den Graphen)-Wäre lieb-Dominik !!1 |
anonym
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. November, 2000 - 22:13: |
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ari
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. November, 2000 - 10:42: |
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Hi Dominik, auch wenn anonym recht hat, Folgendwes:
y=sin (x) ist klar, oder?
y=sin (x) + d ist genau obige Funktion sin (x), allerdings um den Wert d nach oben (positives d) bzw. nach unten (negatives d) verschoben.
y=sin (x+d) ist dasselbe wie sin (x), aber um d nach links (positives d) bzw. rechts (negatives d) verschoben.
Ciao. |
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