| Autor |
Beitrag |
    
B.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. März, 2002 - 16:49: | 
|
Hallo Leute!
Bitte helft mir! Ich soll den Flächeninhalt eines 8-Ecks( Stoppschild) berechnen und hab keine Ahnung! Bitte um Hilfe!
Danke schonmal!
Barbara |
Friedrich Laher (Friedrichlaher)
Neues Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. März, 2002 - 18:52: |
|
MACH DIR BITTE EINE ZEICHNUNG, (Quadrat, Ecken abschneiden)
ich
geh' mal von der Seitenlänge q des umschriebenen
Quadrats aus.
Das 8eck entsteht aus diesem, in dem von jeder q-Ecke ein
g.s.re.wi.3eck abgeschnitten wird, Schenkellänge b, Hypothenuse s,
wobei
s = Seitenlänge des 8ecks. Im folgenden ist w = Quadratwurzel(2).
DANN
muss gelten q-2b = s, mit s=b*w
q-2b = b*w <=> q = b(2+w) <=> b=q/(2+w);
Die Fläche der 4 abgeschnittenen 3eck ist 4*(b²/2)=2b²,
die Fläche F des 8ecks
also
(0) F = q²-2b² = q² - 2q²/(6+2w) = q²(1 - 1/(3+w))=q²(2+w)/(3+w)
Die
8eck-Seitenlänge ist s = b*w = q*w/(2+w)
<=>
q = s*(2+w)/w = s*(2w+2)/2 = s*(1+w) .
Eingesetz
in (0) wird F(s), also F ausgedrückt durch 8eckSeitenlänge
zu
F(s) = [s*(1+w)]²(2+w)/(3+w) = s²(3+2w)(2+w)/(3+w)
F(s) = s²(10+7w)/(3+w); erweiter mit (3-w)
(1) F(s) = s²(30-14+21w-10w)/(9-2) = s²(16+11w)/7 .
d, Der Durchmesser(Umkreisdurchmesser) des 8ecks ist die Hypothenuse eines
re.wi.3ecks mit den Katheten q,s
also
d² = q²+s² = s²+s²(1+w)² = s²(2+2+2w) = 2s²(2+w)
<=>
s² = d²/(4+2w), somit, in (1) eingesetzt,
F(d) = [d²/(4+2w)](16+11w)/7 = d²(16+11w)/[14(2+w)]
erweitert mit (2-w): F(d) = d²(32-22+22w-16w)/[14*2]
(3) F(d) = d²(5+3w)/14
|
Martin (Martin243)
Mitglied
Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 23
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. März, 2002 - 07:54: |
|
Ich blicke hier nicht ganz durch, aber die Formel, von der Seitenlänge a ausgehend ist irgendwie einfacher:
A = 2a2(Wurzel(2) + 1)
Wie ich sie herleite? Hier:
Mach dir eine Skizze.
Wenn alle 8 Seiten gleich lang sind (sollten sie ja sein), dann hast du ein großes Quadrat, bei dem die vier Ecken abgeschnitten sind.
Fügt man alle vier Ecken zusammen, dann erhält man ein Quadrat mit der Seitenlänge a, dessen Flächeninhalt wir von dem des großen Quadrats abziehen müssen.
AAchteck = Agroß - Aklein
= Agroß - a2
Wie berechne ich jetzt Agroß?
Ich brauche die Seitenlänge b des großen Quadrats:
Da man aber die fehlenden Ecken auch als halbe Quadrate mit der Diagonalen a auffassen kann, erhält man für die fehlenden Stücke jeweils die Länge a/Wurzel(2).
Da uns an jeder großen Quadratseite zwei solche Stücke fehlen, erhalten wir für die große Quadratseite:
b = a + 2*a/Wurzel(2)
= a + a*(2/Wurzel(2))
= a + a*Wurzel(2)
= a*(1 + Wurzel(2))
Die Fläche des großen Quadrats beträgt also:
Agroß = b2
= a2 * (1 + Wurzel(2))2
Zusammen erhalten wir für das Achteck:
AAchteck = Agroß - Aklein
= a2 * (1 + Wurzel(2))2 - a2
= a2 * (1 + 2Wurzel(2) + 2) - a2
= 2a2 + 2a2*Wurzel(2)
= 2a2 * (Wurzel(2) + 1)
Voilà
|
B.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. März, 2002 - 11:32: |
|
Das sieht ja alles sehr kompliziert aus. Frage mich woher ich das wissen soll! Es ist sehr nett das ihr mir so schnell geantwortet habe, werde das jetzt mal versuchen ;-) unds dann meinem tollen Mathelehrer präsentieren!
Danke!
Barbara |
B.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. März, 2002 - 11:35: |
|
Das sieht ja alles sehr kompliziert aus. Frage mich woher ich das wissen soll! Es ist sehr nett das ihr mir so schnell geantwortet habe, werde das jetzt mal versuchen ;-) unds dann meinem tollen Mathelehrer präsentieren!
Danke!
Barbara |
|
