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Sandi
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Mai, 2000 - 16:22: | 
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Berechne die Komponenten F1 und F2 einer Kraft R=482 N, die mit dieser die Winkel alpa=19° und beta=48° einschließen.
Berechne: cos(phi/6+x) – cos(phi/6-x) =
Von Sandi |
Niels
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Mai, 2000 - 19:31: |
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Hi Sandi,
Stichwort zu 1:
Verwende die Winkelfunktionsdiffinition im rechtwinkliegen Dreieck!
Und noch ein Tip zu 1:
Denke an das Kräfteparallelogramm! (in diesn Sonderfall das Rechteck)
Gruß
Niels |
Anonym
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Mai, 2000 - 12:51: |
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Um die Höhe eines Berges zu bestimmen, legt man eine horizontale Standlinie AB der Länge s=1315m fest. Von A aus peilt man den Gipfel S unter einem Höhenwinkel von alpha=43°18' und einem horizontalen Winkel von beta=37°6' gegenüber B an. Von B aus mißt man entsprechend gama=53°'24 und delta=59°30'. Die Standlinie AB liegt 195m über dem Meeresspiegel. Wie hoch ist der Berg? |
franz
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. Mai, 2000 - 12:46: |
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Messung der Höhenwinkel bedeutet vermutlich Anpeilung des fiktiven Fußpunktes F unter S, in Höhe AB. BF=s*sin(beta)/sin(180-beta-delta); FS=BF*tg(gamma), Höhe(S)=Höhe(F)+FS=Höhe(AB)+FS. alpha dann überflüssig. F.
(Woher nimmt man in der Landschaft horizontale Standlinien?) |
Fern
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. Mai, 2000 - 16:07: |
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Hallo,
Horizontale Standlinien werden mit Theodoliten oder Niveliergeräten bestimmt.
Ansonsten ist die Lösung "fast" richtig.
Nur FS=BF*tan(delta) (nicht tan(gamma)!
Damit ist Bergspitze 1270 m über dem Meeresspiegel. (Falls ich mich nicht verrechnet habe). |
franz
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Mai, 2000 - 11:08: |
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Bitte nachlesen: Im Text wird für A zuerst der Höhenwinkel (alpha) und dann der Horizontalwinkel (beta) genannt. Darauf folgt die Bemerkung "Von B aus mißt man entsprechend gama=53°'24 und delta=59°30'". Das heißt, daß von einer gleichen Reihenfolge der Winkelbenennung auszugehen ist ("entsprechend") und gamma der Höhenwinkel und delta der Seitenwinkel bei B ist. Damit, wie erwähnt, FS=BF*tg(gamma).
Sollte jedoch, entgegen dem Text, die Bedeutung von gamma und delta andersherum gemeint sein, dann wäre natürlich auch die Formel für BF falsch. Insofern halte ich eine kurze Darlegung des Rechenweges zum Ergebnis 1270 m für angebracht.
Was die Standlinie angeht, so vermute ich als Laie, daß diese Strecke von zwei Meßpunkte gebildet wird, die sowohl untereinander ausgemessen werden können (Entfernung), als auch zur Vermessung eines dritten Punktes dienen können. Damit sind Bedingungen an die geländemäßige Zugänglichkeit von A und B und die Sichtverhältnisse AB, AS, BS gestellt.
Deshalb vermute ich, daß bei Vermessungen im Gelände aus rein praktischen Gründen (das hat mit den Meßgeräten nichts zu tun) die Standlinien in der Regel geneigt sind. F. |
Fern
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Mai, 2000 - 20:13: |
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Hi franz,
Der Denkfehler besteht darin, dass du annimmst, der Winkel alpha sei überflüssig.
Berücksichtigt man aber auch diesen Winkel, so führen deine Formeln zu einem Widerspruch: also muss delta der Höhenwinkel und gamma der Winkel FBA sein.
Das Wort "entsprechend" legt nicht unbedingt die Reihemfolge fest. (Da kannst du ja auch mal einen Deutschprofessor fragen).
Was die Standlinie anbelangt: sie ist per Definition horizontal, egal ob die meisten anderen Standlinien schief, krumm oder gewellt sind.
1270 m ist also die eindeutige Lösung. (Immer vorausgesetzt, ich habe mich nicht (numerisch) verrechnet. |
franz
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. Mai, 2000 - 11:37: |
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Hallo Fern, in die Rechnung scheinen sich drei Fehler eingeschlichen zu haben.(*)
1) Die Länge s beträgt 1315 m, nicht 1395 m.
2) Es wird zwar meine Formel FB=s*sin(beta)/sin(180°-beta-delta) verwendet, ohne jedoch zu bedenken, daß gamma und delta ja angeblich zu vertauschen seien. Statt delta müßte also, nach dieser Interpretation, gamma in der Formel stehen.
3) Für FS wird statt gamma der Winkel delta verwendet, was dem Aufgabentext nicht entspricht; es sei denn, der Fragesteller präzisiert die Angaben zum Punkt B noch dahingehend.
Nebenbei: Die schlichte Tatsachen-Feststellung, daß alpha überflüssig ist, wird als "Denkfehler" mißdeutet. In der hier betrachteten Rechnung taucht alpha natürlich genausowenig auf.
Für den geduldigen Fragesteller noch die gesuchte Berghöhe: 1026 m - wie immer vorbehaltlich (numerischer) Rechenfehler.
Mit freundlichen Grüßen, F.
(*) Zur Erinnerung
s=AB waagerechte Standlinie,
F=Fußpunkt unter der Bergspitze S,
alpha=(FAS),
beta =(FAB),
gamma=(FBS),
delta=(FBA). |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. Mai, 2000 - 12:12: |
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Hi Sandi,
In Deiner Vemessungsaufgabe ist ein Stolperstein verborgen.
Die Aufgabe ist, wie schon Franz richtigerweise erwähnte, tatsächlich überbestimmt.
Der Aufgabensteller hat die Daten immerhin so gewählt, dass keine
wesentlichen Widersprüche entstehen, sondern dass sie einigermassen kompatibel sind ;er hat damit offensichtlich Glück gehabt.
Um die Sprech- und Schreibweise zu vereinfachen, transformieren
wir die Aufgabe leicht um. Du kannst dabei von der Situation leicht
eine räumliche Skizze herstellen.
Es geht um die Berechnung an einem Tetraeder ABFS (dreiseitige Pyramide).
Die dreieckige Grundfläche ABF (in einer Horizontalebene 195m ü.M. gelegen) ist gegeben durch die Seite AB = s =1315 m und die Innenwinkel
beta = 37.1° bei A und delta = 59.5° bei B
Die Kante SF steht auf der Grundfläche senkrecht .
Der Neigungswinkel der Kante BS bezüglich der Grundflächenebene ,d.h. der Winkel SBF = Gamma misst 53.6°.
Ça suffit ! sufficit!
Der Winkel SAF = alpha kann aus den vorigen Daten berechnet werden.
(er ist jedoch a fortiori mit 43,3° vorgegeben.).
Wir berechnen die Seiten x = AF und y = BF je mit dem Sinussatz;
wir erhalten mit dem Winkel AFB = epsilon = 180° - beta - delta = 83,6°
x = s * sin (delta) / sin (epsilon) = 1140.60 m
y = s * sin (beta) / sin(epsilon) = 798.51 m
Nun gibt es zwei Werte h1, h2 für die gesuchte Tetraederhöhe h = SF
Wir speisen à la carte:
h1 = y * tan (gamma) = 1075.20 m
(also doch gamma ,wie Franz richtigerweise schrieb !)
oder --- je nach gusto
h2 = x * tan (alpha) = 1074. 85 m
addiert man noch je 195 m so erhält man die beiden Resultate
1270.2 m und 1269.85 m
Das sollte nicht sein !
Zum Schluss sei mir noch eine persönliche Bemerkung gestattet ,
die Kollegen betrifft, welche im Forum Aufgaben lösen und dies mit einer
bemerkenwerten Verbissenheit tun.
Im Interesse der jungen Studierenden, die von uns etwas lernen möchten, sollte auf dieses sonderbare Gehaben tunlichst verzichtet werden:
Ich bitte dringend, solche Pfeilschüsse auf Gegner , die keine sind,
zu unterlassen, namentlich wenn sie aus der Hüfte abgegeben werden.
Das führt zu nichts oder ,wie schon so oft , kommt alles auf den
Absender zurück im Sinne eines Bumerangs !
Ich bitte , grundsätzlich auf Blossstellungen von Kollegen zu verzichten
und nur der Sache zu dienen; die Mathematik bietet dazu genug Gelegenheit.
Ich bitte, mir diese Standpauke nachzusehen; sie war aber überfällig
Mit freundlichen Grüssen an alle ohne Ausnahmen !
Hans Rudolf Moser |
Fern
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. Mai, 2000 - 12:43: |
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Hallo Hans Rudolf,
Gut dass du erkannt hast, dass man alle 4 gegebenen Winkel zur eindeutigen Lösung der Aufgabe benötigt.
Was die Pfeile anbelangt, so schieße ich nur zurück!
Gruß, Fern |
franz
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Mai, 2000 - 00:06: |
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Hallo megamath, Dein Einwurf ist für mich in mehrfacher Hinsicht von Gewinn; ich bedanke mich herzlich!
Den unnötigen Winkel alpha hatte ich schon zur Seite gelegt, statt damit, wie hier gesehen, die Konsistenz der Angaben und Winkelbeziehungen zu bestätigen (die paar Zentimeter entstammen sicher einer unwesentlichen Rundung). Am weitesten kommt man tatsächlich 'sine ira et studio'.
Gruß Franz. |
Fern
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Mai, 2000 - 06:33: |
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Es handelt sich nicht um die paar Zentimeter.
Wenn man die beiden Winkel gamma und delta vertauscht, so erhält man Widersprüche in der Höhe von über 100 m.
Nur unter Berücksichtigung des Winkels alpha kann man entscheiden, dass die Wahl der Winkel so wie sie Megmath getroffen hat, richtig ist. Mit dem eindeutigen Ergebnis: Höhe=1270 m. |
franz
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Mai, 2000 - 09:51: |
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Hallo Fern, Deine Intention wird mir jetzt klarer und ich möchte Dir teilweise recht geben.
Die Bedeutung der Winkel bei B ergibt sich zwar, nach meiner Ansicht, ziemlich sicher aus dem Text. Wem diese Sicherheit nicht ausreicht, beziehungsweise wenn man den Text anders liest, kann man zur Kontrolle über das zweite Stützdreieck gehen. Völlig in Ordnung!
Ich kann mir jedoch nur schwer vorstellen, daß die Aufgabe quasi als 'selbstreparierende Frage' angelegt war. (Das wäre eine Delikatesse, die ich bisher noch nicht kannte.) Eher denke ich, daß die Formulierung noch präziser hätte sein können und alpha damit verabschiedet wäre.
Wie schon so oft an dieser Stelle, kann nur der Fragesteller selber letzte Klarheit schaffen.
Was den numerischen Teil angeht, da habe ich Mist gebaut und möchte mich diesbezüglich bei Dir entschuldigen!
Gruß, Franz |
Fern
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Mai, 2000 - 10:31: |
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Hi franz,
Du musst dich nicht entschuldigen.
Wie so oft, streiten wir nicht über die Lösung, sondern über die Fragestellung.
In der Hitze der Auseinandersetzung gerät dann mein Ton auch öfters außer Kontrolle: dafür meine Entschuldigung!
Gruß, Fern |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Mai, 2000 - 10:04: |
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An alle, welche sich um diese Aufgabe Verdienste erworben haben
Zur Belohnung für gehabte Mühe möchte ich Euch zum krönenden
Abschluss eine kleine Hausaufgabe stellen:
Man beweise den sogenannten kleinen Satz von Megamath.
Dieser lautet
Für die vier Winkel
alpha: Elevationswinkel bei A
beta: Innenwinkel bei A im Dreieck ABF
gamma: Elevationswinkel bei B
delta: Innenwinkel bei B im Dreieck ABF
gilt die Relation
M = tan (alpa) * sin (delta) - tan (gamma) * sin (beta) = 0
Anmerkung: In Zahlenbeispiel ist M mit guter Näherung null:
Man berechnet leicht den Zahlenwert M = - 0.000262
Kommentar überflüssig !
Mit freundlichen Grüssen reihum
Hans Rudolf Moser, megamath |
franz
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Mai, 2000 - 12:02: |
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Hallo megamath, danke für die Aufgabe. Ich würde sie aber gern für den unbekannten Auslöser der Debatte oder andere Interessenten stehen lassen.
Was mich angeht, und bei Fern mag es ähnlich sein: Wenn man diesen Berg dreimal hoch und runter gerechnet hat, links- und rechtsrum, dann "sieht" man solche Beziehungen schon mit geschlossenen Augen.
Nichts für ungut & nochmals danke für Deine sehr wertvolle Moderierung, Franz. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Mai, 2000 - 15:04: |
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Hi,
Kleiner Satz von Megamath: der Beweis.
Man braucht keine Berge zu versetzen ,um diese Formel zu beweisen !
Mit den alten Bezeichnungen und für AF = x , BF = y und FS = h gilt:
h = x * tan (alpha) = y* tan (gamma) , also:
tan (alpha) / tan (gamma) = y / x = sin (beta) / sin (delta) ;
letzteres wegen des Sinussatzes im Dreieck ABF.
Schon ist dieser tiefliegende Satz mit wenig Mitteln bewiesen
Mit freundlichen Grüssen
H.R. |
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