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Beitrag |
    
Klaus Becker (kguenterbecker)
Mitglied
Benutzername: kguenterbecker
Nummer des Beitrags: 12
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. April, 2003 - 12:10: | 
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Hallo
Ich soll
folgende Aufgabe lösen
Wie muss man 36 in zwei nichtnegative Summanden zerlegen, wenn die Summe der Quadrate der beiden Summanden möglichst klein sein soll? |
ICH (tux87)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tux87
Nummer des Beitrags: 180
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. April, 2003 - 13:40: |
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a>0
b>0
a+b=36
a²+b²=möglichst klein
35+1=36
1225+1=1226 (test)
34+2=36
1156+4=1160 -->es wird kleiner!
18*2=36
18²*2=648 --> kleinste
ICH
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Klaus (kläusle)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: kläusle
Nummer des Beitrags: 423
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. April, 2003 - 14:30: |
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Hallo
Es geht auch bisschen formeller.
a+b = 36
a = b-36
b2 + (b-36)2 = 2b2 -72b + 1296
Abgeleitet: 4b - 72
Nullgesetzt:
b = 18
Damit ist auch a = 18
MfG Klaus
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ICH (tux87)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tux87
Nummer des Beitrags: 181
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. April, 2003 - 15:37: |
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Hi Klaus!
Sicher geht es auch formeller (doch bei so einer Aufgabe kostet das formelle fast noch mehr Zeit, da man da mehr zu schreiben hat und das Ergebnis im Prinzip klar ist!) - doch du hast oben falsch umgestellt:
a=36-b und nicht a = b-36
a+b=36
a=36-b
b²+(36-b)²
2b² - 72b + 1296 (dadurch, dass quadriert wird, wird das Ergebnis von Klaus trotz des kleinen Fehlers richtig)
usw. wie bei Klaus
MfG
ICH
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Klaus Becker (kguenterbecker)
Mitglied
Benutzername: kguenterbecker
Nummer des Beitrags: 14
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. April, 2003 - 18:10: |
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Ich habe noch eine weitere Frage zur Lösung dieser Gleichung:
Ist es auch möglich diese Aufgabe zu lösen in dem man die p-q Formel oder eine andere Formel anwendet?
Leider ist mir eine Lösung durch ableitungen (noch) unbekannt.
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ICH (tux87)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tux87
Nummer des Beitrags: 182
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. April, 2003 - 19:24: |
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ich schätze, dass du mit p-q Formel die quadratische Gleichung meinst (p/2±Wurzel(p²/4-q))! Diese kannst du hier nicht anwenden!
Vom rechnerischen her ist die Lösung von Klaus am Besten (meine Meinung - ich fällt auch gerade keine andere Formel ein, welche man verwenden könnte)! Eine Variable durch einen Zusammenhang mit der anderen Variable ersetzen!
ICH
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Stefan Ott (sotux)
Neues Mitglied
Benutzername: sotux
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. April, 2003 - 21:28: |
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Ich denke hier soll die 2. binomische Formel angewandt werden.
Damit kann man den zu minimierenden Term in der Form 2(b-18)^2 + eine Konstante schreiben, und das wird natürlich dann am kleinsten wenn das Quadrat verschwindet ! |
Klaus Becker (kguenterbecker)
Mitglied
Benutzername: kguenterbecker
Nummer des Beitrags: 16
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. April, 2003 - 09:28: |
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Hallo!Leider sind mir manche zusammenhänge noch nicht ganz schlüssig:
Wo wird die Binomische Formel eingesetzt?
Was sind die nachfolgenden schritte nachdem man die Bino einsetzt?
Woher kommt die Konstante und wie wird sie benannt?
Wie ist die gesamte lösung dieser Aufgabe?
Vielen Dank |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1095
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. April, 2003 - 08:32: |
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stell Dir die Summe der Quadrate als das Quadrat über der Hypothenuse eines Re.wi. 3ecks vor. Die Summe ist am kleinsten, wenn die Hypothenuse am kleinsten ist.
Die Katheten sind dann x und 36-x,
dieselbe
Hypothenuse ergibt sich aber auch für vertauschte Katheten, 36-x, x
und für ein bestimmtes x ist der Winkel, den die Hypotenuse des "hohen" 3ecks mit der Senkrechten
bildet
gleich dem Winkel den die Hyp. des "langen" 3ecks
mit der Waagrechten bildet.
Beide
Hypothenusen werden für steigendens x immer kleiner,
und kommen immer näher zusammen,
bis
sie schließlich beide, sowohl von der Senkrechten
als
auch von der Waagrechten, 45° entfernt sind -
DANN
werden sie bei weiter erhöthem x wider größer.
Am
kleinsten sind sie also bei 45°, wo beide Katheten gleich lang sind, alo in diesem Fall 36/2 = 18
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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