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Beitrag |
    
Klaus Becker (kguenterbecker)
Mitglied
Benutzername: kguenterbecker
Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. April, 2003 - 12:03: | 
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Ich muss folgende Aufgabe lösen:
In ein Quadrat der Seitenlänge a0 5cm wird ein zweites Quadrat einbeschrieben. Wie müssen x und y gewählt werden, damit der Flächeninhalt des einbeschriebenen Quadrats möglichst klein wird?
Wer kann mir helfen?} |
Allmut Plassmann (allup)
Mitglied
Benutzername: allup
Nummer des Beitrags: 12
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. April, 2003 - 16:10: |
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a*Wurzel(1/2) = 3,5355335... cm
Halbiere Seite a.
Eingeschriebenes Quadrat mit Seite x.
x² = a²/4 + a²/4 = a²/2
x = a*Wurzel (1/2)
Gruß!
Allmut
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Klaus Becker (kguenterbecker)
Mitglied
Benutzername: kguenterbecker
Nummer des Beitrags: 13
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. April, 2003 - 18:06: |
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Ich habe noch weitere Frage zur Lösung dieser Aufgabe:
Wie lautet die Ansatzformel oder sonstiger Ansatz?Wie wir y gelöst? |
mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 455
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. April, 2003 - 19:35: |
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Allgemein ist die Seite des eingeschriebenen Quadrates sqrt(x² + y²), und es gilt x + y = a0.
Somit die Fläche:
A = x² + y², mit der Nebenbedingung y = a0 - x ist:
A(x) = x² + (a0 - x)²
A(x) = 2x² - 2a0*x + a0²
A'(x) = 4x - 2a0 -> 0
4x = 2a0
x = a0/2
=======
A''(x) = 4 > 0 Minimum
Die minimale Fläche ist daher A = a0²/4 = 25/4 E²
Gr
mYthos
(Beitrag nachträglich am 05., April. 2003 von mythos2002 editiert) |
Klaus Becker (kguenterbecker)
Mitglied
Benutzername: kguenterbecker
Nummer des Beitrags: 15
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. April, 2003 - 09:25: |
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Hallo!
Leider sind mir die Zusammenhänge noch nicht ganz schlüssig.
Was wurde sqrt benannt?Wie kommt man weiter wenn man die Nebenbedingung festgelegt hat?Was kann man noch statt A0 schreiben?Woher kommt das E quadrat?
Vielen Dank |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1090
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. April, 2003 - 12:24: |
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sqrt = Quadratwurzel = Squareroot;
E steht für LängenEINHEIT, E² ist Flächeneinheit.
Das
Ganze geht auch einfacher:
von dem a0*a0 Quadrat werden 4 rechwinkelige 3ecke
mit
den Katheten x*y = x*(a0-x) abgeschnitten,
das
Eingeschriebene Quadrat hat also die Fläche A(x),
A(x) = a0² - 2*x*(a0-x) die am kleinsten ist
wen
x*(a0 - x) am größten ist
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Klaus Becker (kguenterbecker)
Mitglied
Benutzername: kguenterbecker
Nummer des Beitrags: 17
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. April, 2003 - 14:08: |
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Ich habe noch ein Problem zur Lösung dieser aufgabe?Der zur Lösung genannte Stoff wurde in der neunten Klasse noch nicht durchgesprochen.
Gibt es noch eine andere,einfachere Lösung dieser Aufgabe? |
Allmut Plassmann (allup)
Mitglied
Benutzername: allup
Nummer des Beitrags: 13
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. April, 2003 - 15:46: |
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Du kannst die Seiten des ursprünglichen Quadrates auf verschiedene Weise teilen, entweder 1:1 oder 1:2 oder 1:3 usw.; d.h. entweder halbierst Du sie oder Du drittelst sie oder Du viertelst sie.
Bei der ersten Lösung ist x = y = 2,5 cm.
Die Ecken des eingeschriebenen Quadrats liegen also genau in der Mitte der Seiten.
Dadurch entstehen 4 rechtwinklige Dreiecke, die mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnet werden können. Das habe ich oben getan.
Für diese erste Möglichkeit ergibt sich der kleinste Flächeninhalt.
Vielleicht war es verwirrend, daß ich die Seite des neuen Quadrats x genannt habe.
Also nochmal anders:
x = y = 2,5 cm
Seite b des neuen Quadrates:
b² = 2,5² + 2,5² = 6,25 + 6,25 = 12,5
b = Wurzel(12,5) = 3,535533... cm
Wählt man die Teilung 1:2, ergibt sich:
b² = (5/3)² + (5*2/3)² = 2,777777.. + 11,111...
= 13,8888...
b = Wurzel(13,888..) = 3,7267797...
Die Teilung der Seite a in zwei gleich große Teile ergibt also das neue Quadrat mit dem kleinsten Flächeninhalt.
Ich bedauere, keine Zeichnung anfügen zu können!
Gruß!
Allmut |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1091
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. April, 2003 - 17:49: |
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Du kannst Dir je 2 der abgeschnittenen rechtwinkeligen 3ecke zu einem Recheck mit den
Seitenlängen x,a-x zusammengesetz denken.
Der
Umfang dieses Rechecks ist dann immer 2*[x + (a-x)] = 2a, also unabhängig von x.
Damit
das eingeschiebene Quadrat kleinstmögliche Fläche
hat, muß dieses Rechteck größtmögliche Fläche haben,
gesucht ist
also
das Rechteck, das für gegebenen Umfang
möglichst
große Fläche hat.
Wenn
Du nun, von einem Re.eck das höher als breit ist,
von
der Höhe ein Stück x wegnimmst
mußt
du zur Breite ein stück x hinzufügen
damit
der Umfang gleich bleibt.
Die
Fläche des damit hinzugefügten Rechtecks ist aber
größer
als die des weggegnommen.
dagegen ist die weggenomme Fläche größer
wenn das Re.eck länger als hoch ist.
Schließlich
siehtst Du auch beim Quadrat
(und kannst es nachrechnen), daß die weggenommene
Fläche Größer als die zugefügte ist - daß also
das Quadrat bei gegebenem Umfang die größtmögliche
Fäche hat.
Die Katheten der abgeschnittenen rechtwinkeligen
3ecke müssen also gleich, also gleich 2,5 cm sein.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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