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Linda (ikoly)
Neues Mitglied
Benutzername: ikoly
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. April, 2003 - 18:09: | 
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Ich schaffe das nicht alleine.
1. Welche Streckung (O;k) führt ein einem Kreis einbeschriebenes gleichseitiges Dreieck ABC in ein umbeschriebenes Dreieck A'B'C' dieses Kreises über ? Berechne den Streckfaktor.
2. Beweise: Unter allen umfangsgleichen Rechtecken besitzt das Quadrat den größten Flächeninhalt.
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1085
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. April, 2003 - 21:47: |
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1)Schon eine Zeichnung gemach? Wie verhalten sich Umkreisradius zu Innkreisradius?
2)Zeichne das Quadrat, Seitenlänge a, und innerhalb, von der oberen Kante weg, ein schmales Rechteck, breite d.
Für das große Rechteck, a*(a-d) darunter ist der Umfang dann um 2d kleiner. Damit die 2d wieder ausgeglichen werden mußt du rechts ein Rechteck
d*(a-d) hinzufügen.
Ist nun die Fläche des hinzugefügten Rechtecks d*(a-d) größer, kleiner, oder gleich der des weggenommen d*a ?
Hängt es von d ab, ob es größer, kleiner oder gleich ist?
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 447
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. April, 2003 - 22:04: |
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Hi Linda,
zu 1)
dazu gibt es eine "lange" oder eine (sehr) kurze Rechnung; welche willst du haben?
Das gleichseitige Dreieck habe die Seite a.
Der Inkreisradius r genügt der Beziehung:
r = 2A/u (Heron), A Fläche, u Umfang
r = 2*(a²/4)*sqrt(3)/(3a) = a*sqrt(3)/6
Der Umkreisradius R ergibt sich aus
R = a*b*c/(4A) = .. = a*sqrt(3)/3
Somit ist ersichtlich, dass der Umkreisradius doppelt so groß ist wie der Inkreisradius, der Streckungsfaktor ist daher k = 2.
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Noch schneller geht es, wenn du das rechtwinkelige Dreieck OCTa betrachtest (O .. Mittelpunkt beider Kreise, C .. Eckpunkt, Ta .. Berührungspunkt des Inkreises und der Seite a).
OC = R, MTa = r, TaC = a/2, der Winkel bei c ist 30° (die Hälfte von 60°).
Es gilt dann:
sin(30°) = r/R ->
1/2 = r/R ->
R = 2r
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=> k = 2 !
Gr
mYthos
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