| Autor |
Beitrag |
    
Markus
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. April, 2000 - 17:17: | 
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Einer regelmäßigen sechsseitigen Pyramide ist ein Kegel eingeschrieben, ein anderer umschrieben. Wie verhalten sich die Volumina der drei Körper?
Gruß Markus |
reinhard (Gismo)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. April, 2000 - 18:28: |
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Hallo Markus!
Das Volumen eines Kegels oder einer Pyramide berechnet sich mit Grundfläche mal Höhe drittel. Da die Höhe bei allen drei Figuren gleich ist, beschränkt sich das Beispiel auf die Frage, wie sich die Grundflächen verhalten (weil bei halber Grundfläche auch das halbe Volumen herauskommt etc.).
In der Skizze ist die Grundfläche der Pyramide schwarz gezeichnet. Ihr Flächeninhalt ist das sechsfache eines teil-Dreiecks.
Wenn die Seitenlänge des Sechseckes a ist, dann ist die Höhe eines solchen (gleichseitigen)Dreiecks a*Ö3/2.
Die Grundfläche ist dann 6*a*a*Ö3/2/2=a²*3Ö3/2
Die Grundfläche des eingeschriebenen Kegles (in der Skizze blau) hat den Radius ha=a*Ö3/2.
Somit ist die Grundfläche a²*3p/4
Und die Grundfläche des umschriebenen Kegels (grün) hat den Radius a.
Grundfläche: a²p
Die Volumina verhalten sich also wie
Volumeneingesch. : VolumenPyramide : Volumenumschr.
Aeingesch. : APyramide : Aumschr.
a²*3p/4 : a²*3Ö3/2 : a²p
3p/4 : 3Ö3/2 : greek{p}
Reinhard |
reinhard (Gismo)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. April, 2000 - 18:28: |
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Hallo Markus!
Das Volumen eines Kegels oder einer Pyramide berechnet sich mit Grundfläche mal Höhe drittel. Da die Höhe bei allen drei Figuren gleich ist, beschränkt sich das Beispiel auf die Frage, wie sich die Grundflächen verhalten (weil bei halber Grundfläche auch das halbe Volumen herauskommt etc.).
In der Skizze ist die Grundfläche der Pyramide schwarz gezeichnet. Ihr Flächeninhalt ist das sechsfache eines teil-Dreiecks.
Wenn die Seitenlänge des Sechseckes a ist, dann ist die Höhe eines solchen (gleichseitigen)Dreiecks a*Ö3/2.
Die Grundfläche ist dann 6*a*a*Ö3/2/2=a²*3Ö3/2
Die Grundfläche des eingeschriebenen Kegles (in der Skizze blau) hat den Radius ha=a*Ö3/2.
Somit ist die Grundfläche a²*3p/4
Und die Grundfläche des umschriebenen Kegels (grün) hat den Radius a.
Grundfläche: a²p
Die Volumina verhalten sich also wie
Volumeneingesch. : VolumenPyramide : Volumenumschr.
Aeingesch. : APyramide : Aumschr.
a²*3p/4 : a²*3Ö3/2 : a²p
3p/4 : 3Ö3/2 : p
Reinhard |
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