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Beitrag |
    
Anonym
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. April, 2000 - 11:01: | 
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Das Quadrat ABCD(A(-5/4/-3), B=(3/4/3), C,
D=(-5/-6/z) )ist Basis einer Pyramide,deren Spitze S Der Schnittpunkt der drei Ebenen
E1:x-y+2z=9
E2:5x+y+z=6
E3:2x+y-z=-3
Berechne die koordinaten von S.
Berechne das Volumen dieser Pyramide.
Die Dreiecksfläche BSC ist Basis eines Tetraeders,dessen Spitze X den schwerpunkt des Dreiecks BCS als Fußpunkt hat und dessen Körperhöhe h=6 beträgt.
Berechne die koordinaten der Spitze X.
VIELEnDANK SCHON IM VORHINEIN!!
BITTE SCHREIBT MIR DIE RECHENSCHRITTE AUCH Die spitze hab ich bereits errechnet AUF!!!!!!
S=(1/-2/3)!ABER LEIDER weiß ich nicht mehr weiter!!! |
Daniel
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. April, 2000 - 20:58: |
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Ich hab deine Aufgabe mal angefangen , ich bin aber auch nicht weiter wie du gekommen . Vielleicht kann uns beiden jemand helfen !
Echt sorry , Daniel |
reinhard (Gismo)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. April, 2000 - 21:51: |
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Hallo!
S habt ihr ja schon berechnet. Aber von der Pyramide fehlen ja auch noch die Punkte D und C.
Von D fehlt die letzte Koordinate, aber da die Grundfläche ein Quadrat ist, wissen wir, daß die Länge AB gleich sein muß der Länge AD.
AB=B-A=(8;0;6); |AB|=wurzel(64+36)=10
AD=(0;-10;z+3); |AD|=wurzel(100+(z+3)²)=10
100+(z+3)²=100
(z+3)²=0
z=-3
Der Punkt D ist also (-5;-6;-3)
C ist nun kein Problem: man braucht blos den Vektor AB zu D dazuaddieren und erhält C=(3;-6;3)
Es ist nach den Volumen gefragt, welches sich mit Grundfläche mal Höhe drittel berechnet. Die Grundfläche haben wir schon mal (die Seitelänge des Quadrates ist 10, also ist die Grundfläche 10²=100), fehlt nur noch die Höhe. Diese berechnen wir, indem wir den Normalvektor der Grundfläche ausrechnen und diesen mit der Spitze eine Gerade bilden lassen. Diese Gerade schneiden wir mit der Grundfläche und erhalten den Fußpunkt. Die Höhe ist dann der Abstand zwischen Fußpunkt und Spitze.
Normalvektor ist das Vektorprodukt von AB und AD
ABxAD=(8;0;6)x(0;10;0)=(-60;0;80)=-20(3;0;-4)
Grundfläche E: nX=nA
(3;0;-4)(x;y;z)=(3;0;-4)(-5;4;-3)
3x-4z=-3
Höhengerade g:X=S+tn
X=(1;-2;3)+t(3;0;-4)
wir schneiden E und g
3(1+3t)-4(3-4t)=-3
25t=6
t=6/25
F=(1;-2;3)+6/25(3;0;-4)
S=(1;-2;3)
h=|SF|=|F-S|=|(1;-2;3)+6/25(3;0;-4)-(1;-2;3)|=|6/25(3;0;-4)|=6/25|(3;0;-4)|=6/25*5=6/5
Volumen = 10²*(6/5)/3 = 20*2=40
Das Volumen der Pyramide ist 40
Im Dreieck BSC ist der Schwerpunkt der Höhenfußpunkt. Also berechnen wir uns den Schwerpunkt. Dies geht mit der Formel (B+S+C)/3=
[(3;4;3)+(1;-2;3)+(3;-6;3)]/3=(7;-4;9)/3=(7/3;-4/3;3) = F
Nun haben wir den Fußpunkt der Höhe. Außerdem kennen wir auch die Länge der Höhe. Hätten wir auch noch den Richtungsvektor der Höhe, dann bräuchten wir diesen nur auf die Länge 6 zu bringen, zu F dazuzuzählen, und schon hätten wir die Spitze X. Höhen stehen immer normal auf die Grundfläche, also auf das Dreieck BSC. Der Richtungsvektor der Höhe ist somit der Normalvektor von BSC, und den können wir uns mit dem Vektorprodukt ausrechnen:
n=SBxBC=(2;6;0)x(0;10;0)=(0;0;20)=20(0;0;1).
Diesen Normalvektor (0;0;1) müssen wir auf die Länge 6 bringen: (0;0;6).
Und das addieren wir zu F
X=F+(0;0;6)=(7/3;-4/3;9)
Reinhard |
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