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Anonym
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. April, 2000 - 11:28: | 
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Von einer quadratischen Pyramide sind die Eckpunkte A=(1/15/-4) , die Maßzahl der höhe h= 11 und die trägergerade der Höhe h :
x = (13/8/3) + t * (-6/9/2)
gegeben.
Berechne die Koordinaten der übrigen eckpunkte und das Volumen dieser Pyramide.
Bestimme das maximale Volumen das eine Pyramide ´bei gegebener Seitenkante a anehmen kann. Überprüfe ob die gegeben Pyramide maximales Volumen hat.
BITTE LISTET MIR AUCH DIE RECHEN SCHRITTE AUF!!!!!!
THNX!!! |
reinhard (Gismo)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. April, 2000 - 14:44: |
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Die Höhe steht immer normal auf die Grundfläche, so auch hier die Trägergerade der Höhe. Daraus läßt sich schließen, daß der Normalvektor der Ebene, die die Grundfläche beinhaltet, gleich dem Richtungsvektor der Trägergerade der Höhe ist. Außerdem kennen wir einen Punkt der Grundfläche, nämlich A.
Somit läßt sich die Ebenengleichung der Grundfläche anschreiben:
nX=nA
(-6;9;2)(x;y;z)=(-6;9;2)(1;15;-4)
-6x+9y+2z=121
Wenn wir nun die Grundfläche mit der Höhengeraden schneiden, bekommen wir den Fußpunkt der Höhe, der in einer quadratischen Pyramide auch gleichzeitig der Mittelpunkt der quadratischen Grundfläche ist.
Also die Geradengleichung komponentenweise zerlegen und in die Ebenengleichung einsetzen:
-6(13-6t)+9(8+9t)+2(3+2t)=121
121t=121
t=1
Den Fußpunkt F bekommt man also, wenn man in der Geradengleichung für t=1 einsetzt:
F=(7;17;5)
Die Spitze ist jetzt leicht zu berechnen: Wir kennen ja die Trägergerade und die Länge der Höhe. Wir müssen den Richtungsvektor der Geraden auf die Länge der Höhe (in unserem Fall 11) bringen und dann zu F dazuaddieren (oder subtrahieren - 2 Lösungen).
Die Länge des Richtungsvektors der Geraden ist wurzel(6²+9²+2²)=wurzel(121)=11. So ein Glück, wir brauchen also den Vektor nicht mehr zu kürzen oder zu verlängern.
Die Spitze ist also F+(-6;9;2)=(1;26;7) oder F-(-6;9;2)=(13;8;3)
Nun berechnen wir die fehlenden Ecken der Grundfläche:
Der Fußpunkt ist, wie schon erwähnt, der Mittelpunkt der Grundfläche, das heißt, F halbiert die Diagonale AC. Wenn wir nun A und F kennen, dann können wir uns C ausrechnen, indem wir die Strecke AF über F hinaus verdoppeln, also den Vektor AF zum Punkt F dazuaddieren:
C=F+AF=F+(F-A)=(13;19;14)
Um die Punkte B und D zu berechnen, müssen wir zuerst ein wehnig überlegen, welche Eigenschaften die Strecke FB denn hat.
Sie liegt in der Ebene der Grundfläche und ist somit, wie alle Strecken in der Ebene, normal auf den Normalvektor der Ebne, also normal auf den Vektor FS. Außerdem sind FA und FB zwei (halbe) Diagonalen in einem Quadrat. In einem Quadrat stehen die Diagonalen normal aufeinander.
Die gesuchte Strecke FB muß also:
-normal auf FS sein,
-normal auf FA sein und
-dieselbe Länge wie FA haben (weil die Diagonalen in einem Quadrat gleich lang sind)
Den Vektor, der sowohl auf FS als auch auf FA normal ist, bekommt man mit dem Vektorprodukt:
FSxFA=(-6;9;2)x(6;2;9)=(-77;-66;66)=-11(7;6;-6)
Jetzt brauchen wir noch die Länge von FA:
|FA|=wurzel(6²+2²+9²)=wurzel(121)=11.
Also müssen wir den Vektor FB auf die Länge 11 bringen:
|FB|=wurzel(7²+6²+6²)=wurzel(121)=11
Wieder stimmt die Länge zufälligerweise schon.
B=F+FB=(14;23;-1)
D=F-FB=(0;11;11)
Das Volumen ist auch schnell berechnet:
Volumen einer Pyramide = Grundfläche mal Höhe drittel.
Die Grundfläche eines Quadrates ist Seitenläge² oder Diagolane²/2. Wir nehmen zweitere Formel, da wir ja wissen, daß die halbe Diagonale 11 lang ist, und somit die ganze 22:
Grundfläche =22²/2=242
Volumen=242*11/3=887,333333
Reinhard |
Anonym
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Januar, 2002 - 16:23: |
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Hallo
Brauche Hilfe bei folgender Hausaufgabe:
Eine symmetrische Doppelpyramide mit quadratischer Grundfläche soll einem Zylinder(Grundradius r=30cm, Höhe h=80cm) einbeschrieben werden.
Welchen Anteil in Prozent nimmt die Doppelpyramide vom Zylinder ein
1)mit Pyramidenspitzen auf den Kreisflächen,
2)mit Pyramidenspitzen auf der Mantelfläche?
Wie mache ich die Zeichnung dazu?
Brauche die Lösung schon heute! |
Christina (Tini16)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Januar, 2002 - 12:52: |
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Wer bist du? Du bist doch bei mir in der klasse. wir haben die hausaufgabe doch gestern aufbekommen.Ich habe aufgabeteil eins fertig. den kann ich dir wohl mal erklären.antworte mal! |
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