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Wiedereinmal ein Beweis

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Rainer Ammer
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Veröffentlicht am Freitag, den 07. April, 2000 - 13:39:   Beitrag drucken

Aufgabe: Beweise das es unendlich vielePrimzahlen gibt. Ich vermute das Beispiel ist durch vollständige Induktion zu Lösen. Ich stecke jedoch irgenwo in Mitte fest.
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Marc
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Veröffentlicht am Freitag, den 07. April, 2000 - 14:47:   Beitrag drucken

Ein Beweis mit vollständiger Induktion ist mir nicht bekannt.
Aber ein Widerspruchsbeweis:
Annahme, es gäbe nur endlich viele Primzahlen p1,....,pn. Dann betrachte die Zahl p=p1*...*pn+1, welche offensichtlich dirch keines der pi, i=1,...,n teilbar ist. Dann muß p, welches ja von allen pi verschieden ist, offensichtlich eine Primzahl sein. Widerspruch zur Annahme. Also war die Annahme falsch und es muß demnach unendlich viele Primzahlen geben.
Konntest Du es nachvollziehen?
Marc
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Thomas
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Veröffentlicht am Montag, den 06. November, 2000 - 08:32:   Beitrag drucken

wer kann mir so schnell wie möglich einen beweis für folgende formel geben?

es geht um primzahlen

2p+1=k³

p= beliebige primzahlen
k= beliebige zahl

bewise das es nur die eine lösung gibt

2*13+1=3³

bitte hilf mir so schnell wie möglich

danke
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The (Fireangel)
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Veröffentlicht am Montag, den 06. November, 2000 - 18:09:   Beitrag drucken

2p+1 ist immer ungerade, also darf k nicht gerade sein, da k³ sonst auch gerade wäre.

Nun schreiben wir:

2*p =(k*k*k)-1
=(k*k*(k-1)+k*k-1
=(k*k*(k-1)+k*(k-1)+k-1
=(k*k+k+1)*(k-1)

k*k heisst: ungerade*ungererade = ungerade Zahl
k ist ungerade
1 ist ungerade
Der erste Term ist also als Summe dreier ungerader Zahlen auch ungerade, kann demnach nicht 2 als Primfaktor enthalten. Die Zwei muss also im zweiten Term enthalten sein. Der erste Term kann ohne weiteres eine Primzahl sein, damit allerdings das ganze nach dem Teilen durch 2 eine Primzahl bleibt, muss der Zweite Term ganz wegfallen, d.h. gleich 1 werden. Und ein Term (x-1)/2 ist nur bei x=3 1. k muss also 3 sein und weitere Lösungen gibt es nicht.
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Matroid (Matroid)
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Veröffentlicht am Montag, den 06. November, 2000 - 19:16:   Beitrag drucken

Hi Thomas,
das ist einfacher als es aussieht.
Zu zeigen ist, daß für k!=3 keine Primzahl p existiert mit 2p+1 = k3
Ich sehe mir das mal näher an für gerade k. Für gerade k ist k3 auch gerade. Dann müßte aber 2p+1 gerade sein. Das ist aber niemals der Fall.
Folglich gibt es für gerade k keine solche Darstellung.
Nun für ungerade k>3. Wenn k ungerade ist, können wir k=2i+1 mit i>=2 schreiben.
Also k3=(2i+1)3 = 8i3+12i2+6i+1
Dann ist aber
k3-1=(2i+1)3 -1 = 8i3+12i2+6i
Wenn nun für irgendeine Primzahl p gelten würde:
2p = k3-1 = 8i3+12i2+6i
dann würde das ja bedeuten, daß 2p durch i teilbar ist. Für i>=3 ist das offensichtlich nicht möglich, ohne die Primzahleigenschaft von p zu verletzen. Und für i=2 können wir es ja ausrechnen:
i=2 => (2i+1)3-1 = 124 = 22* 31 = 4 *31
Auch dafür gibt es keine Primzahl p, so daß 2p=4*31.

Für alle k!=3 gibt es keine solchen p.

Gruß
Matroid

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