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Beitrag |
    
niki
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. April, 2000 - 11:35: | 
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BITTE DRINGEND LÖSEN!!
(alle rechenschritte bitte auflisten)
In einem cartesischen Koordinatensystem sind der Punkt C=(4/0/4), die Ebene E: 2x-y+2z= -2 und die Gerade g: X = (2/0/0) + s (1/0/2) und h: X = (0/2/0) + t (-1/2/2) gegeben.
a) Zeige das C auf der Geraden g liegt.
b)Berechne die Koordinten des Schnittpunktes A der eraden g mit der Ebene E.
c) Unter welchem Winkel alpha schneidet die Gerade g die Ebene?
d)Ermittle den abstand des Punktes C von der Ebene!
e) Bestimme auf der Geraden h den Punkt B so ,dass das Dreieck ABC bei C einen rechten Winkel besitzt!
f) Durch Rotation des dreiecks ABC um die Gerade AB als Achse entsteht ein Doppelkegel. Berechne das Volumen dieses Doppelkegels!
DANKE SCHON MAL!!! |
Anonym
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. April, 2000 - 21:59: |
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a) Gleichsetzen von Geradengleichung und Punktkoordinaten, also
(4/0/4) = (2/0/0)+s(1/0/2) liefert als Lösung s=2.
b) Gleichsetzen von Ebenengleichung und Geradengleichung (vorher in die selbe Form bringen!) |
reinhard
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. April, 2000 - 09:14: |
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Hallo Niki!
a)
Wenn C ein Punkt der Geraden g ist, dann muß es ein s geben, sodaß mit diesem s in die Geradengleichung eingesetzt der Punkt C herauskommt. Also sezte den Punkt mit der Geradengleichung gleich
(4;0;4)=(2;0;0)+s(1;0;2)
4=2+s Þ s=2
0=0 Þ s egal
4=2s Þ s=2
Es gibt also so ein s (nämlich s=2), also liegt C auf der Geraden
b)
Geradengleichung mit der Ebenengleichung gleichsetzen (du wirst die Faustregel sicher schon bemerkt haben: geometrisch schneiden heißt rechnerisch gleichsetzen).
Zerlege die Geradengleichung komponentenweise:
x=2+s;y=0;z=2s und setze in Ebenengleichung ein:
2(2+s)-0+2(2s)=-2
4+2s+4s=-2
6s=-6
s=-1
A erhälst du also, wenn du in der Geradengleichung für s=-1 einsetzt:
A=(1;0;-2)
c)
Wenn es um das Berechnen von Winkeln geht, gibt es die schöne Formel cos(phi)=(a*b)/(|a|*|b|). Das Problem ist nur, diese Formel gilt nur für Vektoren und man kann hier keine Ebenen einsetzen. Also machen wir folgendes: wir berechnen den Winkel zwischen der Geraden und den Normalvektor der Ebene, und der gesuchte Winkel ist dann 90° minus diesem Winkel.
Den Normalvektor der Ebene kann man schnell an den Parametern in der Ebenengleichung ablesen: n=(2;-1;2) und der Richtungsvektor der Geraden ist a=(1;0;2)
cos(phi)=((2;-1;2)(1;0;2))/(|(2;-1;2)|*|(1;0;2)|)=6/(wurzel(5)*3)
phi=arccos(2/wurzel(5))=26,565°
Also ist der Winkel zwischen Ebene und Gerade 63,43°
d)
Das geht am schnellsten mit der Projektion. Wenn ich den Vektor AC (also den Vektor von einem beliebigen Punkt der Ebene zum Punkt C) in den Normalvektor projeziere, dann ist das Ergebnis genau der Abstand des Punktes von der Ebene. Und die Formel hierfür ist d=(a*n)/|n|; AC=(3;0;6)
d=((3;0;6)*(2;-1;2))/|(2;-1;2)|=18/3=6
Der Punkt C hat den Abstand 6 von der Ebene
e)
dieses Beispiel geht ähnlich wie Beispiel a), nur daß wir hier einen Punkt noch nicht genau kennen. B muß auf h liegen, also muß B von der Form sein: B=(-t;2+2t;2t). A und C kennen wir ja schon.
Da in C der rechte Winkel sein soll, müssen die Seiten AC und BC normal aufeinander sein. Also AC*BC=0
AC=(3;0;6); BC=(4+t;-2-2t;4-2t)
AC*BC=3(4+t)+0+6(4-2t)=0
12+3t+24-12t=0
36=9t
4=t
also ist B=(-4;10;8)
f)
Für das Volumen eines kegels brauchen wir seine Höhe (das ist die Länge der Seite AB) und den Radius seiner Grundfläche (das ist die Höhe auf AB). Wie aber bekommen wir die Höhe? Der einfachere (aber ebenso längere) Weg wäre folgender: eine Normalebene zu AB durch den Punkt C gehen lassen (das heißt nX=nP mit n=AB und P=C). Diese Ebene mit AB schneiden. Das Ergebniss dieses Schnittes ist der Fußpunkt F der Höhe. Also den Betrag des Vektors FC ausrechnen und fertig.
Der elegantere und kürzere Weg geht über den Höhensatz in rechtwinkeligen Dreiecken: h²=p*q, wobei p und q die Abschnitte der Seite AB sind, die vom Fußpunkt der Höhe getrennt sind. Das p erhält man schnell, indem man AC in AB projeziert. Und q ist dann die Länge von AB minus p. und ferig
AB=(-5;10;10); AC=(3;0;6)
p=AB*AC/|AB|=(-5;10;10)(3;0;6)/|(-5;10;10)|=45/15=3.
Die länge von AB haben wir uns mit |AB|=15 ja schon berechnet. also gilt q=|AB|-p=15-3=12
und nun der Höhensatz:
h²=p*q=12*3=36
h=6
Diese Variante hat übrigens auch folgenden Vorteil gegenüber der mit der Normalebene: man braucht für die Volumsberechnung ja auch noch die 2 Höhen der Kegel. Bei der ersten Variante müßte man noch die Beträge der Vektoren AF und FB ausrechnen. Mit dieser Variante haben wir diese Längen schon: nämlich q und p.
V1=r²hp/3 = 6²*3*p/3=36p
V2=r²hp/3 = 6²*12*p/3=144p
also V=V1+V2=180p
Reinhard |
Johann Kirchner (Joki)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Januar, 2001 - 06:05: |
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Bitte um Lösung!
Das Recteck ABCD ist vom Zentrum Z im Streckungsfaktor K zu konstruieren (Vergrössern)
A (0/-3),B (2/-3), C (2/2), D; Z (-4/-1)
K= 4:7 |
doerrby
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Januar, 2001 - 10:37: |
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Bitte nächstes Mal neuen Beitrag anfangen!!
Der Punkt D ist (0/2), weil's ein Rechteck sein soll.
Konstruieren ist hier etwas komplizierter als ausrechnen. Ich führe das Ganze am Punkt A durch, bei den anderen geht's genauso.
Konstruktion:
Lege eine Gerade durch A und Z; steche Zirkel in A mit Radius Strecke(AZ) und trage ihn auf der anderen Seite ab (-> Punkt A'). Konstruiere Mittelsenkrechte zwischen A und A' (-> Punkt A'') und anschließend zwischen A'' und A'. Der Schnittpunkt der zweiten Mittelsenkrechten mit der Geraden ist der Punkt As (A gestreckt um 7/4 = 1,75 von Z weg).
Berechnung:
Gleichung der Geraden durch A(0/-3) und Z(-4/-1) in Vektorform:
Startvektor: Z(-4/-1)
Richtungsvektor: A-Z = (0/-3) - (-4/-1) = (4/-2)
Richtungsvektor um Faktor 1,75 strecken: (4/-2) * 1,75 = (7/-3,5)
Zielpunkt: (-4/-1) + (7/-3,5) = (3/-4,5)
Gruß Dörrby |
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