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Mizz (Mizz)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Februar, 2002 - 17:15: | 
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Kann mir jemand erklären was man da machen muss???? Was ist das??? Ich weiß, dass ich dumm bin... (8. Klasse Gymnasium) |
Martin (Martin243)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Februar, 2002 - 21:43: |
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Zuerst einmal muss gesagt werden, dass es viele verschiedene Formen von Beweisen gibt, so dass keine Methode existiert, mit der man alles systematisch beweisen kann!
Mit Beweisen will man zeigen, dass eine Aussage (z.B. Satz oder Lemma) wahr ist, indem man diese auf bereits bewiesene oder allgemein als wahr angenommene Aussagen (sog. Axiome) zurückführt.
Hierfür gibt es verschiedene Methoden.
Häufige Beweisarten sind der Beweis durch vollständige Induktion und der Beweis durch Widerspruch (reductio ad absurdum).
Beim Beweis durch Induktion (den man nur im Zusammenhang mit natürlichen Zahlen führen kann) zeigt man, dass eine Aussage für eine erste Zahl (Induktionsanfang) gilt und dann zeigt man, dass man von dieser ersten Zahl auf alle ihre Nachfolger schließen kann (Induktionsschritt), falls die Induktionsannahme stimmt.
z.B. etwas ganz Simples:
Ich behaupte, dass für alle natürlichen Zahlen n>3 gilt: n2>10.(Induktionsannahme)
Induktionsanfang (n=4):
42 = 16 > 10
Induktionsannahme soll natürlich gelten:
Induktionsschritt (n+1 als Nachfolger von n):
(n+1)2 = n2 + 2n + 1 > n2 (weil n positiv), also auch:
(n+1)2 > 10 (weil ja schon n2 > 10)
Damit wäre die Aussage bewiesen.
Das Problem ist meistens, die Aussage für n+1 auf die Aussage für n zurückzuführen.
(Ich erwarte nicht, dass du mein knappes Beispiel verstehst, es war nicht so doll...)
Der Beweis durch Widerspruch wird benutzt, wenn es leichter ist zu zeigen, dass die Gegenaussage falsch ist, als zu zeigen, dass die eigentliche Aussage richtig ist.
Beispiel:
Die 0 ist im Körper der reellen Zahlen eindeutig (d.h. die 0 ist die einzige Zahl, die sich als Summand neutral verhält: x + 0 = 0).
Nun nehme ich das Gegenteil an:
Es gibt eine zweite Zahl y, die von 0 verschieden ist und sich bei der Addition neutral verhält:
x + y = x
x + y + (-x) = 0
x + (-x) + y = 0
(x + (-x)) + y = 0
0 + y = 0
y = 0
Also ist die Annahme, es gebe eine zweite solche Zahl, falsch, denn man erhält wieder y=0.
Somit muss die 0 eindeutig sein (weil die Gegenaussage falsch ist).
Das waren nur kurze Beispiele.
Aber wichtig ist immer, dass man im Hinterkopf hat, was nun bereits bewiesen ist und was man eigentlich beweisen will.
Häufig kommen am Ende eindeutige Gleichungen heraus wie 0=0 oder 1=1, die mit der zu beweisenden Aussage nicht zu tun zu haben scheinen, aber das macht nichts:
Wenn man wirklich immer äquivalent umgeformt hat, dann ist der Beweis richtig.
Natürlich gibt es Beweise verschiedenen Ausmaßes.
Beispielsweise kann (und muss) man simple Additionsregeln (die man in der Grundschule als gegeben hinnimmmt) in wenigen Schritten mit Hilfe der Körperaxiome (bestimmte feststehende Eigenschaften von Körpern, z.B. relle Zahlen etc.) beweisen.
Aber es gibt Beweise, die in jahrelanger Arbeit geführt wurden (siehe Fermats Großer Satz) und auch solche, für die man Computer bemühen musste (Vierfarbenproblem). Hier sträuben sich einigen Mathematikern die Haare, da man Beweise eigentlich ohne elektronische Hilfsmittel (mögliche Fehlerquellen) führen müsste, aber was soll's?
Na egal:
Ich glaube, ich habe nur ein bisschen erzählt und nichts wirklich erklärt, aber es ist ein sehr allgemeines Thema und ich würde mich über Rückfragen freuen.
Bis dann... |
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