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Mathematische Theorie zu x -> a^x * G...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klassen 8-10 » Exponentialfunktion » Mathematische Theorie zu x -> a^x * G (?) (10.Klasse) « Zurück Vor »

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Aenn
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Februar, 2002 - 11:26:   Beitrag drucken

Hi!

Wir sind in Mathe gerade bei Exponentialfunktionen
und hatten die Zuordnungsvorschrift, den Term
oder wie das auch immer heißen mag :
x -> a^x * G
aufgestellt. a ist dabei das Wachstum, G der
Grundwert. ^x die Zeit (Jahre etc.) als Hochzahl.
Dann haben wir untersucht, wie sich das Schaubild
verändert, wenn man a (oder G) variiert, aber sich
G (oder a) nicht verändert. (Da G der y-Wert ist war dann nur noch a wichtig)
Dabei hatten wir dann herausgefunden, dass
-1 < a < 0 keine Exponentialfunktion mehr ist.
Jetzt sollen wir herausfinden, ob die folgende Behauptung stimmt.
~ Bei negativer Basis sind nur ganzzahlige Hochzahlen geeignet (sonst kommt irgendwelcher chaotischer Unsinn raus) und bei positiver Basis alle reellen Zahlen. ~
Ich hab' jetzt, glaube ich, ein bisschen viel geredet, aber es wäre trotzdem toll, wenn mir jemand helfen könnte. Wir sollen versuchen, alles mögliche darüber rauszufinden. Auch im Internet.
Ob es schon Theorien oder Regeln dafür gibt etc.
Ich wäre super dankbar für eine Antwort,
viele Grüße,
Aenn
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Integralgott
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Februar, 2002 - 19:26:   Beitrag drucken

Hi Aenn!

An eurem Satz ist was dran! Wenn die Basis negativ ist, und der Exponent nicht Element der ganzen Zahlen, dann wird das Ergebnis eine so genannte "komplexe Zahl". Das liegt daran, dass Exponenten, die nicht ganzzahlig sind, die gleiche Bedeutung wie Wurzeln haben. Die Wurzel aus einer negativen Zahl ist aber eine rein imaginär komplexe Zahl, bzw. heißt sie für euch zunächst "nicht definiert".
Wenn die Basis jedoch positiv ist, dürfen alle Exponenten vorkommen, da man aus einer positiven Zahl bedenkenlos eine Wurzel ziehen darf. Wenn die Basis nicht Null ist, darf auch Null als Exponent vorkommen. Das Ergebnis ist dann immer 1. Ein Sonderfall ist der Ausdruck 0^0. Es ist ein so genannter "unbestimmter Ausdruck". Das Ergebnis ist nicht gewiss. Später lernst Du vielleicht noch, wie man solche Ausdrücke dann weiter behandelt.

MfG, Integralgott
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Aenn
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Veröffentlicht am Samstag, den 16. Februar, 2002 - 15:54:   Beitrag drucken

Hi!

Sorry, bin etwas spät, aber vielen Dank!
:)
Das mit den komplexen Zahlen find' ich irgendwie
interessant. Ich freu' mich schon auf das Thema
in der Oberstufe (obwohl ich es wahrscheinlich
nicht verstehen werde).

Viele Grüße,
Aenn
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Integralgott
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Veröffentlicht am Montag, den 18. Februar, 2002 - 00:56:   Beitrag drucken

Hi Aenn!

Nur Mut! Das mit den komplexen Zahlen ist gar nicht so schwierig; außerdem sind sie z.B. für Ingenieure in der Wechselstromtechnik sehr hilfreich.
Die komplexen Zahlen sind genau so eine Erweiterung, wie für Dich beispielsweise die rationalen Zahlen waren:
Du kanntest bereits die ganzen Zahlen Z. Zusammen mit den Bruchzahlen ergeben sie die Menge der rationalen Zahlen Q. Als nächstes kommen dann die irrationalen Zahlen dazu (Wurzeln etc.); die gesamte Menge heißt dann R, die reellen Zahlen. Tja, und zum Schluss kommen noch die imaginären Zahlen hinzu; alles in allem dann die Menge C der komplexen Zahlen (die übrigens den gleichen Rechenregeln unterliegen, wie die anderen Zahlenmengen auch.)

Eine komplexe Zahl setzt sich aus einem Realteil und einem Imaginärteil zusammen, hat also die Form

Z = Re + Im = a + j*b

wobei das "j" (bei reinen Mathematikern "i") die imaginäre, also nicht real existente, Einheit ist (definiert als Wurzel{-1}). Es gibt noch zwei weitere Formen der Darstellung, die ich Dir aber erstmal noch vorenthalten möchte.
Darstellen kann man eine solche Zahl in der so genannten "Gaußschen Zahlenebene", einem Koordinatensystem mit reeller (nach rechts) und imaginärer (nach oben) Achse. Für jede Zahl bekommt man dann einen komplexen "Zeiger".

Na, soo schlimm hört es sich doch nicht an, oder?

MfG, Integralgott
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Aenn
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Veröffentlicht am Montag, den 18. Februar, 2002 - 13:28:   Beitrag drucken

Hi!

Danke für die Erklärung.

Bis jetzt habe ich es sogar verstanden
:] , aber ich frage mich, was man mit diesen Zahlen machen kann.
Ich glaube ich denke da zu eindimensional...
mit der normalen Zahl drei kann man ja zum Beispiel eine Menge bestimmen. Man hat drei Äpfel, Tortenstücke oder DM, tschuldigung Euro.
Ich hab' da irgendwie das Gefühl von etwas Handfestem (aber vielleicht auch nur, weil mir die normalen Zahlen so vertraut sind).
Aber was sagen einem denn bitte die imaginären Zahlen??
Was macht man denn damit und wie zählt man die überhaupt?
a + j*b
b + j*c
c + j*d
... ????

Und wie hängen die mit den anderen Zahlen zusammen? Gehören die in dasselbe System?
Und wenn es diese "zweidimensionalen" Zahlen gibt, gibt's dann auch drei- (vier-, fünf- ...)dimensionale????
Die Wurzel aus a + j*b oder so etwas...
*?*

Ich wollte dich jetzt aber nicht mit Fragen überschütten...
:)

Viele Grüße,
Aenn
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Integralgott
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Veröffentlicht am Montag, den 18. Februar, 2002 - 20:36:   Beitrag drucken

Hallo Aenn!

Ich möchte auf Deine vielen Fragen vorerst gar nicht sehr eingehen, da Dir wahrscheinlich noch einige Grundlagen fehlen, zudem bin ich kein Hochschulprofessor. Wie ich schon andeutete, gibt es weitere Darstellungsformen der komplexen Zahlen, die dafür sorgen, dass man eine harmonische Funktion (sin, cos, etc.) als einen einzigen Zeiger darstellen kann, den man sich rotierend um den Ursprung der Gaußschen Zahlenebene vorstellt. Zu einem beliebigen Zeitpunkt kann man den Funktionswert der harmonischen Funktion dann durch Projektion auf die imaginäre Achse ablesen.
Dadurch, dass man aber nur den Zeiger hat, kann man ganz simpel mehrere Funktionen überlagern (geometrische Addition, wie bei Vektoren), was mit herkömmlichen Methoden zu enorm hohem Aufwand führen kann. Ferner spart man sich übrigens auch, die Differentialgleichungen für Spulen und Kondensatoren im Wechselstromnetz zu lösen; durch die komplexen Zahlen benötigt man nur noch die Grundrechenarten.
Komplexe Wurzeln gibt es tatsächlich! Auch Logarithmen sind möglich. Wichtige Bedeutungen dieser Größen sind mir aber nicht weiter bekannt...
Auch, ob es noch mehr Dimensionen geben kann, weiß ich nicht; fällt Dir noch was verrückteres ein, als imaginär?
In der Vektorrechnung wirst Du sehen, dass relativ einfach mit beliebig vielen "realen" Dimensionen gerechnet werden könnte, sollten wir einmal mehr benötigen als drei bzw. vier.

MfG, Integralgott

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