| Autor |
Beitrag |
    
Purzel (Purzel)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. Februar, 2002 - 14:33: | 
|
Hallo alle zusammen,
ich hoffe mir kann einer helfen, wir haben nämlich eine Aufgabe bekommen die fehlenden Strecken eines Trapez zu berechenen und ich finde da voll nicht durch!!
Ich probier mal die Aufgabe zu erklären und hoffe ihr findet dadurch!
Ein Trapez (ABCD) mit der Höhe(h), einer Linie quer durch von B nach D (f) und einer Linie von A nach C.
Gegeben sind:
a= 12,6cm, b=4,6cm, alpha= 47°, Betha= 34°
Nun muss ich alle fehlenden Strecken und Wicnkel berechen!! Bei h hab ich 2,6 raus und für d 4,3.
Ich hoffe ihr findet durch meine Beschreibung durch und könnt mir helfen!
Danke schonmal im Vorraus!!
MfG |
O.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. Februar, 2002 - 18:17: |
|
Frage im Voraus: sind die Bezeichnungen so gewählt wie in der Skizze?
zusätzlich noch eingeführt:
a1 und a2, weil ganz nützlich für Berechnung der Länge von c
ich würd so:
(1) alpha = 47° => delta = 133°
(2) beta= 34° => gamma = 146°
(3) Berechnung der Diagonale e von A nach C:
Kosinussatz im Dreieck ABC:
e² = a²+b² - 2ab cos(Beta) ==> e = 9.155
(4) h=b*sin(Beta) ==> h=2.572, stimmt überein.
(5) a2=b*cos(Beta) ==> a2=3.814
(6) a1=h/tan(Alpha) ==> a1=2.397
(7) c=a-a1-a2 = 6.389
(8) d²=a1²+h² ==> d=3.516 - stimmt nicht überein.
Habe keine Lust, das nochmal auseinanderzunehmen, kannst du erst deinen Rechenweg zum d nochmal aufschreiben? |
Alfred Kubik (Fredy)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. Februar, 2002 - 18:46: |
|
Hallo Purzel,
auf einer handschriftlichen Darstellung und einer Skizze findest du den Rechenweg.
Die Genauigkeit der Werte kannst du bestimmen, je nachdem wieviele Stellen du bei den sin und tan-Werten nimmst.
Grüße,
Fredy. |
Justin
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. Februar, 2002 - 18:57: |
|
Hallo Purzel und die anderen,
hier mal mein Lösungsweg, ohne Skizze.
Also bei einem Trapez sind doch zumindestens ZWEI Seiten zueinander parallel.
Die beiden anderen Seiten sind also wie zwei Geraden, die diese Parallelen schneiden.
So, und nun denke mal an die Beziehungen der Winkel zurück, die vorliegen, wenn eine Gerade zwei Parallelen schneidet.
Da gibt es doch Wechselwinkel, entgegengesetzt liegende Winkel und so weiter :-)
Und wenn man da ein wenig weiterdenkt, kommt man zu dem Schluss, dass die beiden Winkel, die an einer der Seiten anliegen, die nicht zu den Parallelen gehört, zusammen 180° groß sein müssen, eben weil es entgegengesetzt liegende Winkel sind.
Also wenn alpha=47° und betha=34° ist, muss demzufolge die Seite a, an der ja beide Winkel anliegen, eine der Parallelen sein, denn 47+34 < 180°
Also ist a parallel zu c UND außerdem muss a länger sein als c, weil die Summe der Winkel, die an a anliegen, kleiner ist, als 180°.
Demzufolge ist delta = 180°-alpha = 133° und gamma = 180°-betha=146°
Die Höhe des Trapezes erhält man, indem man diese als Seite eines rechtwinkligen Dreiecks berechnet, von welchem die Seite b und der Winkel betha gegeben sind.
Der in diesem Dreieck zu ermittelnde fehlende Winkel phi ist dann gleich 180°-betha-90° = 56°
Die dem Winkel phi gegenüber liegende Seite p - ein Teilstück der Seite a - wird dann durch den Sinussatz ermittelt:
b/sin 90° = p/sin phi => p = b * sin phi = 3,81cm
h = wurzel(b² - p²) = wurzel (21,16 - 14,51) = 2,58
3,52Mit Hilfe von h und der gleichen Methode berechnet man als nächstes die Länge von d.
h/sin alpha = d/sin 90° => d = h/sin alpha = 3,52 cm
Auch hier muss noch die dritte Seite berechnet werden. Ich nenne sie man q, sie ist auch wieder ein Teilstück von a. Und der gegenüberliegende Winkel sei rho.
rho = 180° - 90° - alpha = 43°
q/sin rho = d/sin 90° => q = d * sin rho = 2,4 cm
Sooo. Und nun kann man die Länge von c bestimmen.
Denn zieht man von dem Trapez die beiden Dreiecke ab, die an den Seiten durch die Höhe gebildet werden, dann bleibt ein Rechteck übrig, von dem zwei Seiten die Länge h haben und zwei andere die Länge c.
c = a - p - q
c = 12,6 - 3,81 - 2,4 = 6,39
Fehlen nun noch die Diagonalen, also e und f.
Die berechnet man mit dem Kosinussatz:
e² = c² + d² - 2cd * cos delta => e = 9,16
ODER
e² = a² + b² - 2ab * cos betha => e = 9,16
f² = b² + c² - 2bc * cos gamma => f = 10,52
ODER
f² = a² + d² - 2ad * cos alpha => f = 10,52
Da also beide Berechnungswege zum gleichen Ergebnis führen, kann man sich die Probe ersparen :-)
Hier nochmal das Ergebnis.
a = 12,6 cm
b = 4,6 cm
c = 6,39 cm
d = 3,52 cm
e = 9,16 cm
f = 10,52 cm
h = 2,58 cm
alpha =47°
betha = 34°
gamma = 146°
delta = 133°
Schönen Abend noch
Justin |
O.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. Februar, 2002 - 20:05: |
|
ok, f vergessen, danke! |
Purzel (Purzel)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. Februar, 2002 - 14:46: |
|
Hallo Justin, O und Alfred,
Vielen Dank für eure HIlfe! ich glaube ich habe das Prinzip jetzt verstanden. Hab mir das Ganze durchgelesen und nochmal alleine gerechnet und siehe da: Ich hatte es richtig!! Echt nett von euch, dass ihr so genau und mit Rechenweg geantwortet habt!!
MfG Purzel |
|
