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Strixx (strixx)
Neues Mitglied
Benutzername: strixx
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. März, 2003 - 10:56: | 
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Brauche dringend Unterstützung bei folgender Aufgabe:
Aus einem halbkreisförmigen Blech (r=2 dm) soll ein gleichschenkliges Trapez mit größtmöglichem Flächeninhalt herausgeschnitten werden. Eine Grundseite des Trapezes sei mit dem Durchmesser identisch.
Danke  |
mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 416
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. März, 2003 - 14:18: |
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Hi!
Die Grundseite des Trapezes ist AB = 2r, deren Mittelpunkt sei M1, r = M1A = M1B.
Die obere Parallelseite CD sei c, deren Mittelpunkt sei M2, c/2 = M2C (C rechts).
h = M1M2 bzw. auch das Lot von C auf M1B.
Nun führst du als Variable den Winkel x ein, den die Seite M1C mit M1A bildet.
Es gilt 0 < x < 90°
Aus den rechtwinkeligen Dreiecken, die jeweils durch die Höhe h erzeugt werden, kannst du direkt erhalten:
h = r*sinx
c/2 = r*cosx
Flächenformel des Trapezes allgemein:
A = (a + c)*h/2 = [(a/2) + (c/2)]*h,
hier ist a = r, somit
A = (r + r*cosx)*r*sinx = r²*(sinx + sinx*cosx)
f.d. Ableitung r² als Konst. weglassen
A(x) = sinx + sinx*cosx
A'(x) = cosx + cos²x - sin²x
A''(x) = -sinx - 4sinx*cosx
A' = 0 -> cosx + cos²x - 1 + cos²x = 0
2cos²x + cosx - 1 = 0 (quadr. Gleichung)
cos1,2(x) = (-1 +/- 3)/4
cos1(x) = 1/2
cos2(x) = -1
-----------------
x = 60°, die einzige sinnvolle Lösung!
A''(arccos(1/2)) < 0 (alles negativ), daher Maximum
Somit ist h = r*sin(60°) = (r/2)*sqrt(3) und
c/2 = r/2 -> c = r, damit die maximale Fläche
A = 3r²/4*sqrt(3)
Das flächengrößte Trapez besteht also aus 3 gleichseitigen Dreiecken mit der Seitenlänge r.
Gr
mYthos
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Strixx (strixx)
Neues Mitglied
Benutzername: strixx
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. März, 2003 - 16:16: |
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 vielen dank mythos, das hat mir seeeehr viel geholfen....Gruss strixx |
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