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Klaus Becker (kguenterbecker)
Neues Mitglied
Benutzername: kguenterbecker
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Februar, 2003 - 19:37: | 
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Hallo Forum,
ich weiss nicht wie man folgenden Beweis führt:
Bestimme u (als Element der rationalen Zahlen) in x^2-4x+5-u=0 so,dass die Gleichung nur eine Lösung hat. Zeige, dass der so erhaltene Wert uo der kleinste ist, den der Term x^2-4x+5 annahmen kann.
Vielen Dank |
Klaus (kläusle)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: kläusle
Nummer des Beitrags: 279
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Februar, 2003 - 20:04: |
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Hallo Klaus
Das ist eine quadratische Gleichung.
Sie löst du mit der p-q-Formel:
x1/2 = [4±Wurzel(16 - 4*(5-u))] / 2
Die quadratische Gleichung hat genau dann 1 Lösung, wenn die Diskriminante (das was unter der Wurzel steht) den Wert Null hat.
16 - 4(5-u) = 0
16 - 20 = -4u
u = 1
Mit diesem Wert als u ist die Lösung der Gleichung
x = 2
------------------------------------------
Du bestimmst den Extrempunkt der Gleichung:
f'(x) = 2x-4
f''(x) = 2
f'(x) soll 0 sein:
2x-4 = 0
x = 2
f''(2) > 0
--->Tiefpunkt
f(2) = 4 - 8 + 5 = 1
Alles verstanden?
MfG Klaus |
Klaus Becker (kguenterbecker)
Neues Mitglied
Benutzername: kguenterbecker
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Februar, 2003 - 16:54: |
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Ich habe leider nicht alles verstanden
Wie kommt mann genau auf den Wert
x1/2 = [4±Wurzel(16 - 4*(5-u))] / 2
denn
p ist doch -4, so dass vor der Wurzel 2 anstatt 4 stehen müßte, analog die Ergebnisse unter der Wurzel
Vielleicht kann man nochmal die einzelnen Rechenschritte erläutern
Vielen Dank |
Klaus (kläusle)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: kläusle
Nummer des Beitrags: 282
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Februar, 2003 - 17:08: |
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Hallo
Ich hab auch die Mitternachtsformel verwendet. Bei dieser wird alles durch 2 dividiert.
Das stimmt aber schon!!
Daher:
x1/2 = [4±Wurzel(16 - 4*(5-u))] / 2
16 - 4*(5-u) = 0
16 - 20 = -4u
-4 = -4u
u = 1
Das dürfte dann klar sein.
Für u = 1 ergibt sich als Lösung x = 2
Nun soll gezeigt werden, dass für x = 2 der kleinste Wert der Funktion f(x) vorliegt. Dies kann man z.B. durch den Nachweis eines Tiefpunktes der Funktion machen.
Dazu musst du die 1.Ableitung Null setzen. Man erhält x = 2.
Anschließend wird x = 2 in die 2.Ableitung eingesetzt. Wenn dies größer als Null ist, handelt es sich um einen Tiefpunkt T(2/1).
MfG Klaus |
Klaus Becker (kguenterbecker)
Junior Mitglied
Benutzername: kguenterbecker
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Februar, 2003 - 17:17: |
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Gibt es auch eine Lösung oh´ne die Mitternachtsformel? |
Klaus (kläusle)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: kläusle
Nummer des Beitrags: 284
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Februar, 2003 - 19:07: |
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Hallo
Die Mitternachtsformel entspricht der pq-Formel.
Mit dieser Formel lässt sich eine quadratische formel am Besten (am einfachsten) lösen - meistens zumindest.
Dann gibt es noch den Satz von Vieta.
Sagt der dir was?
MfG Klaus |
Klaus Becker (kguenterbecker)
Junior Mitglied
Benutzername: kguenterbecker
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. Februar, 2003 - 11:11: |
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Mein Problem ist aber nach wie vor, dass ich mit der pq-Formel nicht auf
auf den Wert
x1/2 = [4±Wurzel(16 - 4*(5-u))] / 2 komme. |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 939
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. Februar, 2003 - 12:20: |
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Hi Klaus
[4±Wurzel(16 - 4*(5-u))]/2
=4/2±Wurzel(16 - 4*(5-u))/2
=2±Wurzel(4-(5-u))
MfG
C. Schmidt
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Klaus Becker (kguenterbecker)
Junior Mitglied
Benutzername: kguenterbecker
Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. Februar, 2003 - 13:12: |
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Ich bin leider etwas schwer von Begriff
Bei Einsetzen der pq-Formel ist p=4 und Q =5-u
Dann steht unter der Wurzel (4/2)^2-5-u
Frage Woher kommt die 4 und das Multiplikationszeichen |
Ingo (ingo)
Moderator
Benutzername: ingo
Nummer des Beitrags: 569
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. Februar, 2003 - 15:14: |
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Machen wir es doch einfach mit quadratischer Ergänzung...ist zwar im Endeffekt das gleiche, aber vermutlich einfacher zu verstehen, wenn man mit der qp-Formel noch nicht so vertraut ist.
x²-4x+5-u=0
<=> x²-4x+2²-2²+5-u=0
<=> x²-4x+2²-2²+5-u=0
<=> (x-2)²-4+5-u=0
<=> (x-2)²=u-1
Wäre nun u-1¹0, so gäbe es entweder keine Lösung(()² kann nie negativ werden), oder zwei verschiedene Lösungen.
Folglich ist u=1 die einzige Möglichkeit, bei der die Gleichung nur eine Lösung besitzt, nämlich x=2.
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Klaus (kläusle)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: kläusle
Nummer des Beitrags: 287
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. Februar, 2003 - 18:20: |
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Hallo
Ich versuche es nochmal mit der Mitternachtsformel:
Diese lautet:
[-b±Wurzel(b2-4*a*c)] / 2
Bei deiner Funktion x^2-4x+5-u=0 ist:
a = 1
b = -4
c = 5-u
Damit ergibt sich:
x1/x2 = [4±Wurzel((-4)2 - 4*1*(5-u))] / 2
x1/2 = [4±Wurzel(16 - 20 + 4u)]/2
x1/2 = [4±Wurzel(-4+4u)]/2
MfG Klaus
(Beitrag nachträglich am 24., Februar. 2003 von Kläusle editiert) |
