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tobi
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. Januar, 2002 - 17:40: | 
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Also, ich hab probleme bei der folgenden Aufgabe. Ich weiß einfach net wie ich das beweisen soll
Bitte versucht mir alles langsam zu erklären, sonst kapier ich nichts.
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D sei ein Dreieck ABC mit rechtem Winkel bei C. Die Höhe h von C auf auf die Grundseite AB unterteilt das Dreieck in zwei weitere rechtwinklige Dreiecke D1 und D2.
a)r sei der Radius des Inkreises von D. Zeige , dass c=a+b-2r gilt.
b)r1 und r2 seien die Radien der Inkreise von D1 und D2. Zeige, das die Höhe h, gleich der Summe der drei Inkreisradien r,r1,r2 ist.
Falls es jemand schafft schonmal Danke im voraus |
Astrid Sawatzky (Sawatzky)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. Januar, 2002 - 15:18: |
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zu a)
Ich hab erstmal ne Zeichnung gemacht.
wir wollen ja zeigen, dass c= a +b - 2r
umgeformt steht dann c = (a-r) + (b-r)
wenn Du dir jetzt Seite b vom Dreieck anguckst, siehst du das die linke Seite von dem kleinen grauen Dreieck eine Länge von b-r hat.
wir wollen nun zeigen, dass das die gleiche Länge ist ,wie die von der unteren Seite von dem gelben Dreieck.
das Grue und das gelbe Dreieck haben die gemeinsame Seite AM sie werden beide außerdem von r3 bzw. r2 begrenzt (der Radius des Inkreises) . Die sind also auch gleich lang. Außerdem stehen die Radien des Inkreises senkrecht auf den Außenseiten.
Da Wa die winkelhalbierende in A ist haben beide Dreiecke dort jeweils den Winkel a/2 .
macht zwei gleich große Winkel und zwei gleichlange Seiten. Das ist mehr als genug um auf Ähnlichkeit zu schließen.
Also hat die untere Seite des gelben Dreiecks die Länge (b-r).
Das kann man jetzt genauso mit dem großen grauen Dreieck und dem grünen Dreieck machen.
Die Länge der unteren Seite des grünen Dreiecks ist dann also (a-r).
Die unteren Längen von dem grünen und dem Gelben Dreieck ergeben zusammen c .
Also ist c = (a- r)+(b-r) = a+b-2r.
Na also!.
zu b)
da wir jetzt gezeigt haben , das in einem rechtwinkligen Dreieck gilt:
Die Hypothenuse (c) = die Summe der Katheten (a+b) weiniger dem doppelten Inkreis-Radius (-2r) können wir das benutzen:
es sei h die Höhe auf c
es F der Fußpunkt von h auf c
p sei die Strecke AF und
q die Strecke von BF.
also ist c = p+q
(Mal dir das mal auf)
es gilt also in D
c= a+b- 2r => a+b = c + 2r
in D1 (Dreieck AFC) gilt :
b= h + p -2r1 => h = b-p + 2r1
in D2 (Dreieck BFC) gilt:
a = h + q -2r2 => h = a-q + 2r2
jetzt zähle ich die gleichungen aus D1 und D2 zusammen, indem ich die linken Seiten und die rechten Seiten jeweils zusammenzähle.
also h +h = (b-p + 2r1) + (a-q+2r2)
ein bißchen umsortieren und zusammenfassen:
=> 2h = a + b + 2r1 + 2r2 - p - q
aus D weiß ich a+b = c+2r
Das setz ich mal eben ein:
=> 2h = (c + 2r ) + 2r1 +2r2 -p -q
ich weiß außerdem c= p+q
das setz ich dann auch mal ein:
=> 2h = p+q + 2r +2r1 + 2r2 -p -q
oh klasse die p und q heben sich jeweils weg:
=> 2h = 2r + 2r1 + 2r2
auf beiden Seiten alles durch 2 teilen
=> h = r +r1 + r2
Jawoll!!
Alles klar? Sonst frag ruhig noch mal
gruß Astrid |
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