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Sandra
| | Veröffentlicht am Samstag, den 29. Dezember, 2001 - 15:32: | 
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Hallo!
Folgende Sätze sind ja sehr einleuchtend:
1)Ein Polygon besitzt genau dann einen Umkreis, wenn sich alle Seitenhalbierenden in einem Punkt schneiden, der dann Mittelpunkt des Umkreises ist.
2)Ein Polygon besitzt genau dann einen Inkreis,
wenn sich alle Winkelhalbierenden in einem Punkt
schneiden, der dann Mittelpunkt des Inkreises ist.
Wer weiß, wie man die beiden Sätze ausführlich beweisen kann??
Vielen vielen Dank!
Sandra |
gofal
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Januar, 2002 - 10:12: |
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1)
um das "genau dann, wenn" zu beweisen, mußt du erst beweisen, daß wenn es einen Umkreis gibt, sich dann alle Seitenhalbierenden schneiden, und dann, wenn sich alle Seitenhalbierenden schneiden, es dann einen Umkreis gibt.
a) Wenn es einen Umkreis gibt, dann schneiden sich alle Seitenhalbierenen.
Wenn es einen Umkreis gibt, dann existiert ein Umkreismittelpunkt M, der von allen Eckpunkten des Polygons gleich weit entfernt ist. Folglich ist M auch von zwei benachbarten Polynomeckpunkten A1 und A2 gleich weit entfernt. Alle Punkte, die von A1 und A2 den selben Abstand haben, bilden eine Gerade, nämlich die Seitenhalbierende. Und weil M ebenfalls von A1 und A2 gleich weit entfernt ist, muß M auf der Seitenhalbierenden liegen.
Dasselbe gilt für andere benachbarte Polynomeckpunkte zB A2 und A3 oder für A9 und A10 usw. Der Punkt M liegt auf all diesen Seitenhalbierenden, das heißt, sie laufen alle durch diesen Punkt. Und weil sich Geraden nur in maximal einem Punkt schneiden können (außer sie sind ident) ist dieser Punkt M der einzige Schnittpunkt aller Seitenhalbierenden.
b) Wenn sich alle Seitenhalbierenden schneiden, dann ist dieser Schnittpunkt M der Umkreismittelpunkt.
Jetzt laufen die Argumente in die andere Richtung:
Wenn sich alle Seitenhalbierenden in M schneiden, dann betrachten wir zwei benachbarte solche Geraden, also die Seitenhalbierende zwischen A1 und A2 und die zwischen A2 und A3.
Weil der Punkt M auf der Seitenhalbierenden zw A1 und A2 liegt, muß M von A1 gleichweit entfernt sein wie von A2. Weiters liegt M aber auch auf der Seitenhalbierenden zw A2 und A3, also ist der Abstand zwischen M und A2 gleich groß wie der zw M und A3. M liegt aber wiederum auf der Seitenhalbierenden zw A3 und A4, also ist der Abstand M-A3 derselbe wie M-A4 .. und so weiter. Am Ende erhält man, daß der Abstand von M zu A1 gleich dem Abstand von M zu A2 gleich dem Astand von M zu A3 .... ist, also alle Eckpunkte sind von M gleich weit entfernt. Und somit liegen alle diese Eckpunkte auf einem Kreis um M, den sogenannten Umkreis.
2)
der Beweis von 2 geht genauso, nur daß nicht mit Abständen zu Punkten, sondern mit Abständen zu Seiten argumentiert wird. |
Beach
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Januar, 2002 - 16:01: |
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Hallo, kann es sein, dass es "Mittelsenkrechte" anstatt "Seitenhalbierende" heißen muss? |
sandra
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Januar, 2002 - 21:48: |
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Hi!!
Vielen Dank gofal für Deine ausführliche Antwort, ich denke, ich komme nun weiter.
Und Beach, Du hast selbstverständlich Recht, ich habe das "-halbierende" von Winkelhalbierende in Gedanken auch beim Seiten- angeschlossen!
Natürlich muss es Mittelsenkrechte heißen!!!! |
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