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annika
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. November, 2001 - 11:57: | 
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Hallo,
ich soll ein Dreieck in ein Koordinatensystem zeichen: A(0/0), B(5/-3), C(2,5/4). Das kann ich natürlich auch. Aber dann! Verwandle das Dreick in zwei Schritten in ein flächengleiches Dreieck, dessen Ecken auf den Koordinatenachsen liegen. Bestimme den Flächeninhalt des Dreicks ABC. Wie soll denn das gehen. Kann mir einer helfen?
Annika |
Alfred Kubik (Fredy)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. November, 2001 - 14:43: |
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Hallo Annika,
ist gar nicht so schwer.
Zeichne das Dreieck im Koordinatensystem. Ok. das hast du ja schon.
Es liegt also nur der Punkt A auf einer Koordinatenachse.
Schritt 1:
Zeichne durch B eine Parallele zu AC. Der Abstand dieser beiden Parallelen ist die Höhe des verwandelten, flächengleichen Dreiecks. Nun nimm den Punkt B' im Schnittpunkt der Parallelen mit der x-Achse an.
Du hast nun das flächengleiche Dreieck AB'C.
Schritt 2:
Die Parallele von AB' durch C ergibt jetzt die Höhe des flächengleichen Dreiecks, dessen Eckpunkte auf den Koordinatenachsen liegen sollen.
Wo sich diese Parallele mit der y-Achse schneidet, markierst du den Punkt C'.
Es ergibt sich daher das Dreieck AB'C'.
Dieses ist flächengleich mit dem Ursprungsdreieck ABC, die Eckpunkte liegen auf den Koordinatenachsen.
Flächenberechnung:
A= c*h/2
c ist die Strecke AB', die Höhe ist die Strecke AC'.
Das Mass AB' darfst du wahrscheinlich nicht abmessen, sondern musst es berechnen.
Auf deiner Zeichnung siehst du das Dreieck AB'B.
Wenn du von B die Höhe auf AB' einträgst, teilst du AB' in p und q.
Jetzt musst du den Höhensatz anwenden:
h1²=p*q
p hat ja genau die x-Koordinate von B, also 5 cm. Die Höhe h1 entspricht der y-Koordinate von B, also 3 cm.
h1²=p*q
3²=5*q
q=9/5=1,8
q=1,8 cm
p+q=Strecke AB'= 5+1,8=6,8 cm ..ist die Seite c des verwandelten Dreiecks.
Die gesuchte Fläche des Dreiecks ist daher:
A=c*h/2 ...die Höhe h entspricht der y-Koordinate von C, also 4 cm.
A=6,8*4/2
A=13,6 cm²
Ich hoffe, die Erklärungen haben dir geholfen.
Alles Gute,
Fredy. |
annika
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. November, 2001 - 17:25: |
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Hallo Fredy,
das Zeichnen der Dreiecke hab ich supergut verstanden. Schon komisch, dass solche Erklärungen und Beispiele nicht im Mathebuch stehen. Höhensätze hatte ich noch nicht. Kommt wohl bald. Ich denke, ich rechne 1/2 x g x h. Das mess ich einfach aus.
Vielen, vielen Dank
Annika |
ricewind
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. November, 2001 - 18:02: |
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Hi Fredy, dein Ergebnis ist annähernd richtig, aber leider mehr zufällig, weil das vorgegebene Dreieck (zufällig) annähernd rechtwinklig war.
Der Fehler ist, dass der Höhensatz für das Dreieck AB'B nicht gilt, da es eben nicht exakt rechtwinklig ist.
Das kann man am besten dadurch einsehen, dass man den Punkt C an eine andere Stelle verlegt und dann den Schervorgang nochmals nachvollzieht.
Ich weiß leider auch keinen anderen Weg, als über den Betrag des Kreuzproduktes (leider kein Stoff bis Klasse 10):
A = |b × c|/2 = |5*4 - (-3*2.5)|/2 = (20+7.5)/2
A=13.75 |
Alfred Kubik (Fredy)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. November, 2001 - 22:21: |
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Hallo Annika, hallo ricewind,
die Verlockung das Dreieck ABB' als rechtwinkelig anzusehen war wirklich gross.
Aber es gibt trotzdem eine einfache Möglichkeit, die Fläche des Dreiecks ABC zu berechnen:
Umschreibe dem gegebenen Dreieck ABC ein Rechteck. In diesem Rechteck gibt es neben dem Dreieck ABC noch weitere 3 Dreiecke, alle rechtwinkelig, deren Maße bekannt sind und deren Flächen daher berechenbar sind. Zieht man diese 3 Dreiecksflächen vom Rechteck 5cm*7cm ab, so bleibt die Fläche des Dreiecks ABC über und die beträgt tatsächlich 13,75 cm².
Sollte das Hochladen der Skizze nicht klappen, müsste der Vorgang aus dieser Beschreibung auch klar sein!
Grüße
Fredy. |
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