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Jeanette
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. November, 2001 - 14:54: | 
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Hallo,
ich bin in der neunten Klasse, im Moment beschäftigen wir uns mit Wurzelrechnungen... Da haben wir eine Hausaufgabe bekommen, bei der ich einfach nicht auf die richtige Lösung komme:
(Für Wurzel habe ich V geschrieben)
"Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks beträgt 16cm2, die Länge der Hypothenuse beträgt V80. Berechne die Katheten!"
Wie kann man das denn rechnen??
Danke an die, die sich die Zeit nehmen!
Jeanette |
Rudolf Friederich (Ruedi)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. November, 2001 - 19:12: |
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Hallo Jeanette
Ist ein bisschen komplizierter als es aussieht. Aber fangen wir einmal an.
Die Katheten a und b kannst Du Dir als Seiten eines Rechteckes denken. Von diesem Rechteck ist die Diagonale gleich der Hypothenuse c.
Die Fläche des Dreiecks, A = 16cm2, ist die halbe Fläche des Vierecks mit den Seiten a und b.
Was Du nun suchst, sind die Seiten a und b. Hast also zwei Unbekannte. Für zwei Unbekannte brauchst Du aber zwei Gleichungen. Hier sind sie:
I. (a*b)/2 = 16
II. a^2 + b^2 = c^2
c^2 (c im Quadrat) ist auch bekannt. Nämlich V80^2. Also 80. Nochmals die Gleichungen:
I. (a*b)/2 = 16
II. a^2 + b^2 = 80
Jetzt drücken wir die erste Gleichung in a aus:
I. a = (2*16)/b
und setzen diesen Ausdruck für a in II ein.
[(2*16)/b]^2 + b^2 = 80
einfacher:
(32^2)/(b^2) + b^2 = 80
Dabei passt mir der Nenner b^2 nicht. Der muss raus. Also die Gleichung mit b^2 multiplizieren.
32^2 + b^4 = 80*b^2
und sortiert:
b^4 - 80*b^2 + 32^2 = 0
Au wei. Eine Gleichung vierten Grades. Die lässt sich in der Regel nicht so ohne weiteres lösen. Behelfen wir uns mit einem Trick. Wir nehmen x = b^2 und setzen es in die Gleichung ein.
x^2 - 80x + 32^2 = 0
Jetzt haben wir eine Quadratische und können sie nach der allgemeinen Formel auflösen. Dabei kommt heraus:
x1 = 64 und x2 = 16
Da x aber eigentlich b^2 ist müssen wir das wieder gerade biegen. Also:
x1 = 64 => b^2 = 64 => b11 = 8 und b12 = -8
x2 = 16 => b^2 = 16 => b21 = 4 und b22 = -4
Ha Ha! Jetzt haben wir also für b vier Lösungen. Nämlich 8, -8, 4, -4. Da b ja eine Strecke ist, kann die wohl kaum negativ sein. Also begnügen wir uns mit b1 = 8 und b2 = 4.
Fehlt uns noch die Kathete a. Wir haben zwei b, folglich muss es auch zwei a geben. Wir nehmen wieder die erste Gleichung a*b/2 = 16 und setzen b ein:
a1 = 32/b1 => a1 = 32/8 => a1 = 4
a2 = 32/b2 => a2 = 32/4 => a2 = 8
Jetzt haben wir's: Wenn a = 4 dann b = 8 und wenn a = 8 dann b = 4.
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Probe: ab/2 = 16 => 4*8/2 = 16
a^2 + b^2 = 80 => 16 + 64 = 80
Bingo
Gruss Ruedi |
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