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Beitrag |
    
Stefanie (stefanie26)
Neues Mitglied
Benutzername: stefanie26
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Januar, 2003 - 06:54: | 
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1. Gegeben ist die Formel
a = x/y²
a) Um wie viel Prozent wächst bzw. fällt a, wenn x um 5 % wächst?
b) Um wie viel Prozent wächst bzw. fällt a, wenn y um 10 % fällt?
c) Um wie viel Prozent muss x vergrößert (verkleinert) werden, damit a um 20 % größer wird?
d) Um wie viel Prozent muss y vergrößert (verkleinert) werden, damit a um 10 % kleiner wird?
e) Von welchem Typ ist die Funktion a(y)? Wie sieht der Graph dieser Funktion aus?
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Joe Mein (abdrop)
Neues Mitglied
Benutzername: abdrop
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Januar, 2003 - 11:02: |
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Nur Tipps, keine Lösung. Die musst Du selbst erarbeiten!
zu a)
Wenn x größer wird, wird dann a größer oder kleiner? Kannst es Dir an einem Beispiel klarmachen (such Dir einfach irgendeinen Bruch).
Wenn x um 1% wächst, dann wächst/fällt a um (1/y^2)%. Auch das kannst Du Dir an einem Beispiel klarmachen (z.B. a=100/2) -> lasse x von 100 auf 105 gehen und beobachte, wie sich a verändert.
Wenn Du bislang alles verstanden hast, sind b)-d) kein Problem mehr.
Zu e):
Die Funktion ist abhängig von y, also x ist fest und keine Variable mehr (deshalb auch a(y) und nicht a(x)). Die Funktion sieht also z.B. aus: a(y)=2/y^2. Was für eine Art von Funktion das ist solltest Du in der Schule gelernt haben. |
Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 362
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Januar, 2003 - 11:19: |
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Hi Joe,
kleiner Gedankenfehler
a = x/y2
wenn x um 1% steigt heißt das:
a = x*1,01/y2 = x/y2 * 1,01 (wegen Assoziativität und Kommutativität der Multiplikation)
d.h. a verändert sich direkt proportional zu x, wenn sich y nicht verändert, was ja vorausgesetzt wird/wurde!
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 355
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Januar, 2003 - 11:25: |
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Hi,
wenn p% der Prozentsatz ist, um den eine Größe steigt oder fällt, dann ist der Wachstumsfaktor (1+ p/100) bzw. (1 - p/100) bei Verminderung.
Wächst z.B. eine Größe um 5%, so sind zu den ursprünglich 100% noch 5% hinzugekommen, es sind also nun 105% bzw. das 1,05-fache der ursprünglichen Größe vorhanden.
Geht eine Größe in eine Formel z.B. quadratisch ein, so wirkt sich das auf das Ergebnis der Formel auch quadratisch zum Wachstums- (Verminderungs-)faktor (NICHT zum Prozentsatz) aus!
Vergrößert sich beispielsweise die Seite eines Quadrates um 5%, so steigt die Fläche auf das 1,05²-fache, d.i. das 1,1025-fache, die Fläche ist also um 10,25% größer geworden (und nicht etwa um 25%).
Verkleinert sich beispielsweise die Seite eines Quadrates um 5%, so ist die Fläche nun das 0,95²-fache, d.i. das 0,9025-fache der ursprünglichen, die Fläche ist also um 9,75% kleiner geworden
Interessant daran ist hinsichtlich der Vergrößerung und Verkleinerung der Seite um den gleichen Prozentsatz, dass sich die Flächen nicht um den gleichen Prozentsatz vergrößert wie verkleinert haben!
a)
x geht in die Formel linear ein, die neue Größe a nennen wir a', sie ist
a' = 1,05*x/y² = 1,05*a, a ist um 5% gewachsen
b)
a' = x/(0,9y)² = x/(0,81y²) = 1,2346*a
a ist um 23,5% gestiegen, weil die Größe y im NENNER gefallen ist!
c)
Der gesuchte Vergrößerungsfaktor von x sei q:
a = x/y²
a' = q*x/y²
a' = 1,2*a = 1,2*x/y²
q = 1,2, x muss um 20% vergrößert werden
d)
Der gesuchte Faktor von y sei q, da y im Nenner steht und a kleiner werden soll, muss sich y zwangsläufig vergrößern:
a = x/y²
a' = x/(q*y)²
a' = 0,9*a = 0,9*x/y²
Vergleich der beiden a' ergibt: 0,9 = 1/q²
q² = 1/0,9 = 1,111
q = 1,054
y muss um 5,4% vergrößert werden
e)
f(y) = a(y) = x*(1/y²); x ist als Konstante c anzusehen. x ersetzen wir durch c, statt y schreiben wir nun x, um in die normale Funktions-Schreibweise überzugehen (und Verwirrung von vornherein auszuschließen):
f(x) = c/x²
Es liegt eine Potenzfunktion mit dem Quadrat der Variablen im Nenner vor, sie ist also eine gebrochen rationale Funktion 2. Grades. Den Graphen ermittelst du am besten, wenn du eine Wertetabelle (beispielsweise mit einem günstigen Wert von c = 10 und -5 < x < 5) erstellst und die Wertepaare als Koordinaten zu Punkten in ein kartesisches Normalkoordinatensystem einträgst.
Die Stelle x = 0 ist ausgeschlossen (Division durch 0!), mit der y-Achse gibt es also keinen Schnittpunkt, die Funktion kommt aber von beiden Seiten der y-Achse beliebig nahe -> die y-Achse ist Asymptote. Die Stelle x = 0 heißt Polstelle, die Funktion geht dort von beiden Seiten gegen +oo (unendlich).
Gr
mYthos
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