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Marco (heimar77)
Mitglied
Benutzername: heimar77
Nummer des Beitrags: 13
Registriert: 10-2000
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Januar, 2003 - 20:46: | 
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Wer kann folgende Aufgabe lösen und mir den Weg zur Lösung erklären?
In einer Klinik wird einem Patienten durch eine Tropsinfusion ein (bis dahin im Körper nicht vorhandenes) Medikament verarbreicht. Dabei gelangt je Minute eine gleichbleibende Menge von 5 mg des Medikamnetes ins Blut.
Von der im Blut vorhandenen Menge werden je Minute 5% über die Nieren wieder ausgeschieden.
a) Gib die Änderungsrate an, mit welcher der Bestand B(t) des Medikaments im Blut (b. Zeitschritt 1 Min.) zunimmt.
b) Zeige, dass langfristig ein etwa gleich bleibender "Medikamentenspiegel" im Blut vorhanden sein wird. Wie hoch liegt er?
Formel???
allgem.: B(t)= B(0)*a^t (aber B(0) ist doch hier 0 oder??? Da am Anfang ja kein Bestand des Medikamnets im Blut vorhanden ist...???- oder sehe ich das Falsch)
Mit beschräntem Wachstum haben wir es hier ja wohl nicht zu tun, oder?
Ich sehe das so, dass der Patient nach einer Minute 5 mg des Medikamnets abzüglich 5% v. 5mg = 4,75 mg im Blut hat. Nach 2 Minuten hat er die 4,75 mg + 5 mg (die wieder hinzu kommen) = 9,75 abzüglich 5% von 9,75 = 9,2625 mg im Blut usw... ist das bis dahin richtig? Wenn ja, wie bekomme ich das ganze nun in (m)eine Wachstumsformel, so dass ich die obigen Fragen beantworten kann???
Danke für die Hilfe im Voraus!
Die Aufgabe stammt übrigens aus einem Mathebuch der 10. Klasse, Gymnasium, Baden-Württemberg.
Gruß Marco |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 873
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Januar, 2003 - 11:02: |
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Differentialgleichungen schon gehabt?
m in mg, t in Minuten
m(t) : Zeitabhängige Medikamentmenge,
dann gilt
dm/dt = 5 - m/20, 5mg Zufuhr, 5% = 1/20 Abfuhr
dm/dt = (100-m)/20
dm/(100-m) = dt/20
dm/(m-100) = -dt/20 integrieren
m-100 = C*e-t/20, m = 100 + C*e-t/20
m(0) = 0, 0 = 100 + C; C = -100;
m(t) = 100*(1 - e-t/20)
Dein
Ansatz ist eine Näherung.
Frage
b) kann aber ohne Differentialgleichung beantwortet werden:
sobald
der Spiegel so hoch geworden ist,
daß die 5% Ausscheidung den 5mg Zufuhr entsprechen
wird
sich der Spiegel nicht mehr verändern - und
das
ist eben bei 100mg der Fall.
Aus
diesem Grund könntest Du auf
B(t) = 100*(1 - a-t) schließen.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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