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daniel
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Oktober, 2001 - 17:17: | 
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hy!
kann mir jemand erklären warum Wurzel aus 2 kein abbrechender Dezimalbruch sein kann und nicht als gemeiner Bruch darstellbar ist?? wär sehr nett,danke!!! daniel |
Pere Drinovac (Pere)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Oktober, 2001 - 13:34: |
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Hi Daniel,
Der Beweis, dass Wurzel(2) irrational ist, wird bekanntlich durch einen Widerspruch herbeigeführt.
Beim Beweis der Aussage "Die Wurzel aus 2 ist keine rationale Zahl." ist ein indirekter Beweis wohl unverzichtbar.
Er geht so:
Als wenn-dann-Aussage fomuliert lautet die Behauptung:
Wenn r=2, dann ist die Wurzel aus r keine rationale Zahl.
Wir nehmen also an, die Wurzel aus 2 sei eine rationale Zahl und versuchen, daraus einen Widerspruch herzuleiten.
Nach Definition der Menge gibt es dann zwei ganze
Zahlen p und q, so dass die Wurzel aus 2 gleich dem Bruch p/q ist, d.h. es gilt
2 = (p/q)2=p2/q2.
Wir wählen p und q so, dass der Bruch p/q nicht weiter gekürzt werden kann. Nun formen wir die Gleichung um und erhalten
2q2 = p2.
Das bedeutet, dass p2 eine gerade Zahl ist. Dann muss aber auch p eine gerade Zahl sein. Nach
Definition bedeutet das, dass es eine ganze Zahl a gibt mit p = 2a. Das setzen wir ein:
2q2 = (2a)2=4a2.
Division durch 2 liefert:
q2 = 2a2,
also muss auch q eine gerade Zahl sein. Das ist ein Widerspruch, denn wir hatten den Bruch
p/q so weit gekürzt, wie es ging.
Gruß, Pere |
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