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Definition gesucht!(Wurzel,Reele Zahl...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klassen 8-10 » Algebra » Potenz und Wurzel » Definition gesucht!(Wurzel,Reele Zahl,Irrationale Zahl) « Zurück Vor »

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laddi
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Veröffentlicht am Samstag, den 20. Oktober, 2001 - 13:24:   Beitrag drucken

Hy an alle!
ich muss mir zu Montag die Begriffe Wurzel, Reele Zahl und Irrationale Zahl erarbeitet haben! Da ich leider gar keinen Plan hab(und mit den lexika auch nicht klarkomme-verstehe die Erklärungen nicht)bitte ich jemanden mir zu helfen!! vielen dank, laddi
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Tini
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Veröffentlicht am Samstag, den 20. Oktober, 2001 - 17:08:   Beitrag drucken

Ich drück die Wurzel durch # aus sonst kommt man durcheinander wo das Wort "Wurzel" immer hingehört,ok?
Wurzel: n#a ist die eindeutig bestimmte positive Zahl, deren n-te Potenz gleich a ist. wobei a aus der Menge der reellen Zahlen kommt und n aus der Menge der natürlichen Zahlen kommt.
Noch nicht verzweifeln, das oben aufgeführte bedeutet in normalem Deutsch, daß du durch Wurzelziehen die Zahl suchst die n-mal mit sich selbst genommen die Zahl unter der Wurzel ergibt:
Bspl: 2#9 hier suchst du die Zahl die ² genommen, d.h. mit sich selbst mal genommen 9 ergibt, also 3. Weil 3*3=3²=9 ist. Der Wurzelexponent (das ist die Zahl, die vor der Wurzel auf dem kleinen waagerechten Strich steht, nicht verwechseln mit einem Koeffizienten,das ist die Zahl mit der die Wurzel mal genommen wird. z.B. 3*2#144= 3*12=36)
Wenn nur das reine Wurzelzeichen ohne Wurzelexponenten darsteht, dann bedeutet das immer die zweite Wurzel, der Zahl, die unter der Wurzel steht.Will man z.b die dritte Wurzel einer Zahl, d.h. man muß das Ergebnis 3 mal mit sich selber nehmen um den Wert unter der Wurzel zu erreichen, dann schreibt man auf den kleinen waagerechten Strich der Wurzel eine 3. Dies bedeutet, wenn man z.B. 3#27 hat muß man sich fragen welche Zahl muß ich haben und dreimal mit sich selber nehmen, damit es 27 ergibt.Richtig !Die 3, denn 3*3*3 =3³=27.
Das ist erstmal alles, was man zu einer Wurzel wissen muß.
Oder brauchst du auch die Rechengesetze?

Zwei wichtige Sachen noch zum Schluß:
1. Aus 2#9 kann sowohl 3 als auch -3 herauskommen, da beide mit sich multipliziert 9 ergeben(minus mal minus=plus).Das ist besonders wichtig wenn ihr nachher von Funktionen Nullstellen und sowas berechnen soll(sonst fehlt dir immer eine:-) )
2.Es gibt zu einer negativen Zahl unter der Wurzel keine Lösung. 2#(-9) da keine Zahl mit sich selbst malgenommen minus ergeben kann.
(plus mal plus = plus, minus mal minus=plus)
(minus mal plus sind zwei verschiedene Zahlen)

Ist ein bißchen schwierig zu erklären, hoffe es hilft dir.Viel Erfolg beim Verstehen.Wenn du vor Montag noch ein bißchen sicherer werden willst, kann ich dir gerne Aufgaben schreiben und korrigieren (es soll ja noch Schüler geben, die so lernbegierig sind:-))
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Tini
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Veröffentlicht am Samstag, den 20. Oktober, 2001 - 18:25:   Beitrag drucken

Die beiden anderen Begriffe sind viel leichter:
mußt du nix verstehen nur auswendiglernen.
Die Zahlen werden in 4 Großgruppen aufgeteilt:
1. die natürlichen Zahlen beschrieben mit N: Das sind alle ganzen, positiven Zahlen.1,2,3,4,5,... . Die null soll dort auch zugehören, aber ich würde den Lehrer sicherheitshalber noch mal fragen. Wenn man zeigen will, daß sie dazu gehört schreibt man an das N eine 0 als index(d.h.klein rechts unten )
2.Die ganzen Zahlen beschrieben mit Z: Das sind alle ganzen positiven und auch negativen Zahlen.
...,-3,-2,-1,0,1,2,3...
3. Die rationalen Zahlen Q: sind alle vorherigen Zahlen, und dazu Brüche die nicht endlos sind.
4. die irrationalen oder reellen Zahlen R:
Sind alle Zahlen, die du kennst,d.h. die vorigen und dazu noch die niemals endenden, nicht periodischen Brüche wie pi,e,einige Wurzeln(z.B. Wurzel aus zwei.
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laddi
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Veröffentlicht am Samstag, den 20. Oktober, 2001 - 19:59:   Beitrag drucken

hy!
erst mal vielen dank,dass du dir so viel Mühe gemacht hast! wenn du mir aufgaben schicken könntest, wär das natürlich super!

eine fragen noch:gibt es zwischen Reelen Zahlen und Irrationalen Zahlen keinen Unterschied??

vielen dank, laddi
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Maria
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Veröffentlicht am Samstag, den 20. Oktober, 2001 - 20:39:   Beitrag drucken

Hallo Tine,
Du schreibst: Wurzel: n#a ist die eindeutig bestimmte positive Zahl, deren n-te Potenz gleich a ist. wobei a aus der Menge der reellen Zahlen kommt und n aus der Menge der natürlichen Zahlen kommt.

Warum schreibst Du dann:
1. Aus 2#9 kann sowohl 3 als auch -3 herauskommen...
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Tini
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Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Oktober, 2001 - 11:34:   Beitrag drucken

Hallo Maria,
danke, daß du aufgepasst hast und Tschuldigung, daß ich mich undeutlich ausgedrückt habe. Natürlich kann beim Ergebnis sowohl positive als auch negative Zahlen herauskommen. Aber diesen Fall benutzt man nur in der Geometrie.Wenn du z.B. die Nullstellen berechnen willst,kann es passieren, daß du 2#9 herausbekommst, die Schnittpunkte liegen dann bei x=3 und x=-3.

Im Fall der Analysis, also des reinen Rechnens mit Zahlen, ist es per Definition festgelegt, daß die Wurzel, wenn es zwei mögliche Ergebnisse gäbe, nur eine positive Zahl darstellt.Sonst würdest du z.B. aus 2#9+2#16 vier verschiedene Ergebnisse herausbekommen, mit denen du verschieden weiterrechnen müßtest:
1.3+4=7
2.-3+4=1
3.-3-4=-7
4.3-4=-1

Das heißt für den Fall 3#-27=-3 hier darf die -3 als Ergebniss genommen werden, da es die einzige mögliche lösung ist.Auch darf bei ungeraden Wurzelexponenten eine negative Zahl unter der Wurzel stehen, da bei ungeraden Potenzen auch negative Vorzeichen erzielt werden können.
Hier ist noch mal ne ganze Seite voller Wurzelsachen http://www.michaelshomepage.htmlplanet.com/Wurzeln.htm
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Tini
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Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Oktober, 2001 - 12:23:   Beitrag drucken

Kennst du schon die Rechengesetze der Wurzel?
1.Wurzeln lassen sich nur multiplizieren, wenn sie den gleichen Wurzelexponenten haben, dann gilt: a#b*a#c=a#(b*c)
2.Du kannst nicht verschiedene Radikanden miteinander addieren oder subtrahieren:
Bspl:2#9+2#16=2#25=5 FALSCH
2#9+2#16=3+4=7 Richtig
Du kannst nur deren Koeffizienten addieren oder subtrahieren: 5*2#3+6*2#3 =2#3(5+6)=11*2#3

Du kannst Wurzeln auch als Potenzen darstellen, (manchmal besser zu rechnen) dabei nimmst du den Radikanden als Basis und Exponent und Wurzelexponent als (Potenz-)Bruch:dabei wird der Wurzelexponent in den Nenner, der Exponent des Radikanden in den Zähler geschrieben.
Bspl: 2#(4°4)=4°(4/2)=4°2=8
2#(4*4*4*4)=2#64 =8
steht über dem Radikanden nichts, so ist sein Exponent gleich 1
Bspl: 2#3=3°(1/2)
Den (Potenz-)Bruch kannst du auch kürzen.
Z.B.:4#(a°4)=a°(2/4)=a°(1/2)=2#a
Wird der Bruch ganzzahlig, so fällt die Wurzel weg: 2#(a°4)=a°(4/2)=a°2


° bedeutet hoch
Und nun noch paar Übungsaufgaben:
a) 3#(48x6)
b)3#(27a)
c)2#25
d)3#125+2#49
e)2#(35+14)
f)2#(a°17)
g) 3#3* 3#9
h)2#(8*2* 2#16)
i)5* 7#4 -3* 7#4
j)11* 3#2 -5* 4#2 !
k)2#(a°14)
l)4* 3#27
m) 4#(-256) !

Schreibe die nächsten Aufgaben als Exponent mit möglichst kleiner Basis:
a)3#64
b)5#27
c)6#100
d)4#164

Schreibe die nächsten Aufgaben mit möglichst kleinem Wurzelexponenten:
a) 3°(2/3)
b) 4°(2/4)
c) 3°(9/27)
d) 17(2/8)
e) 25°(25/50)
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Maria
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Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Oktober, 2001 - 15:05:   Beitrag drucken

Hallo Tini,
Ist 1/3 ein endloser Bruch?
Was ist ein endloser Bruch?
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Maria
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Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Oktober, 2001 - 16:06:   Beitrag drucken

Hallo Tini,
Du schreibst:
Wurzel: n#a ist die eindeutig bestimmte positive Zahl, deren n-te Potenz gleich a ist. wobei a aus der Menge der reellen Zahlen kommt und n aus der Menge der natürlichen Zahlen kommt.

Und dann schreibst Du:
Natürlich kann beim Ergebnis sowohl positive als auch negative Zahlen herauskommen

Da kann doch unmöglich beides stimmen!
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Ralph (Raz)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Oktober, 2001 - 16:20:   Beitrag drucken

Hallo Maria!

Ja, ein 1/3 ist ein endloser Bruch. Stell dir bitte einmal diese Division vor:

1 : 3 = 0,33
10
_10

usw. Man kann erkennen, daß dieser Rest 1 sich niemals verändern wird, man also immer weiter 3 an die Dezimalzahl dranhängen muss, dieser Bruch also niemals endet.

Ich hoffe, daß das verständlich war.

MfG

Ralph
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Maria
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Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Oktober, 2001 - 19:10:   Beitrag drucken

Hallo Ralph,
Danke! Ja, das ist verständlich.
Tini hat geschrieben:
3. Die rationalen Zahlen Q: sind alle vorherigen Zahlen, und dazu Brüche die nicht endlos sind.
Mit vorigen Zahlen meint er N und Z.

Ist daher 1/3 keine rationale Zahl?
Oder ist das auch wieder falsch von Tini?
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Ralph (Raz)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Oktober, 2001 - 19:52:   Beitrag drucken

Hallo Maria!

Unter

http://www.univie.ac.at/future.media/mo/mathint/lexikon/r.html

läßt sich folgende Definition der rationalen Zahlen nachlesen:

"Rationale Zahlen
sind jene reellen Zahlen, die sich als Quotient zweier ganzer Zahlen schreiben lassen. Daher werden sie oft auch als Bruchzahlen bezeichnet: Jede rationale Zahl ist von der Form m/n, wobei m und n ganze Zahlen sind.
Es läßt sich zeigen, daß die rationalen Zahlen genau jene reellen Zahlen sind, deren Dezimaldarstellung abbricht (d.h. von einer bestimmten Stelle an nur Nullen aufweist) oder periodisch ist (d.h. von einer bestimmten Stelle an aus einer immer wiederholten Zifferngruppe besteht).
Die Menge aller rationalen Zahlen wird mit Q bezeichnet.
Es gibt sehr viele rationale Zahlen: Zwischen je zwei verschiedenen reellen Zahlen (d.h. Punkten auf der Zahlengeraden) liegen unendlich viele rationale Zahlen. Daher wird die Menge Q als ''dicht'' bezeichnet. Dennoch gibt es sehr viel mehr reelle Zahlen als rationale: Die Menge Q ist abzählbar, d.h. ihre Elemente können ''durchnumeriert'' werden, im Gegensatz zur Menge R der reellen Zahlen. Da die Menge Q die Zahlengerade nicht ''ganz ausfüllt'', wird sie als ''nicht-vollständig'' bezeichnet."

Damit ist das, was Tini sagt, meiner Ansicht nach, falsch.

MfG

Ralph
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Tini
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Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Oktober, 2001 - 21:55:   Beitrag drucken

Hallo Maria,
ich habe hingeschrieben,daß es die positive Zahl ist, da ich auch nur positive Quadratwurzeln gegeben habe.Die Sache mit den zwei Lösungen ist NUR FÜR NULLSTELLEN UND SOWAS GEDACHT.Wenn du z.B. eine nach unten geöffnete Parabel hast die ein bißchen nach oben verschoben wurde, dann hast du zwei Schnittpunkte die gleich lang entfernt sind, einmal nur in positiver Richtung einmal in negativer.
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Tini
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Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Oktober, 2001 - 22:06:   Beitrag drucken

Zu den rationalen Zahlen gehören die periodischen hinzu somit auch 1/3.
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Maria
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Veröffentlicht am Montag, den 22. Oktober, 2001 - 13:20:   Beitrag drucken

Hallo Tini,
Du schreibst: Wurzeln lassen sich nur multiplizieren, wenn sie den gleichen Wurzelexponenten haben

Schon wieder FALSCH!

Hast Du in der Schule nicht gelernt:
3#2 * 4#2 = 12#(2^7) ?

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