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BlackEgo (Blackego)
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Oktober, 2001 - 15:02: | 
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Bitte hilft mir:Im Zuschauerraum eines Theaters gibt es 30 Reihen Sitzplätze. In jeder Reihe sind 2Plätze mehr als in der vorausgehenden. Wie viele Sitzplätze gibt es insgesamt, wenn in der 15.Reihe 50 Sitzplätze sind?
hä...????
und dann auch noch das: 20m Stoff werden auf einen Stab von 5cm Durchmesser aufgewickelt. Der Stoff ist 1mm dick. Wie dick wird die Rolle? Zur Lösung lege man folgende vereinfachte Modell zugrunde: Im Querschnitt der Rolle-in einer Ebene senkrecht zur Stabrichtung-sei jede Lage des Stoffes ein konzentrischer Kreisring der Dicke 1mm. Die Länge einer solchen Lage sei der Umfang desjenigen Kreises, dessen Durchmesser der Innendurchmesser diese Kreisrings ist. Gesucht ist der Außendurchmesser der(möglicherweise unvollständigen) Letzten Lage.
Bitte was???????????????????????????????????? |
Justin
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Oktober, 2001 - 16:14: |
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Hallo,
also die erste Aufgabe ist doch nun wirklich nicht so schwer.
Wenn in der 15.Sitzreihe 50 Plätze sind, und in jeweils vorangehenden zwei weniger, in der jeweils nachfolgenden zwei mehr, dann hat die erste Reihe
50 - (14*2) = 50 - 28 = 22 Sitzplätze.
Die 30.Reihe hat dann entsprechend
50 + (15*2) = 50 + 30 = 80 Sitzplätze.
Nun heißt es 30 Zahlen zu addieren, also 22+24+26+28+30...+76+78+80.
Aber wer bei der Mathe-Olympiade mitmachen will, sollte nicht einfach blind addieren sondern ein wenig kreativer sein :-)
Und da kommt man dann früher (oder aber auch viel) später auf die Idee, dass man ja in diesem Falle auch einfach nur 15 * 102 ausrechnen muss, was 1530 ist.
Ich werde das jetzt hier nicht erklären, aber wie hatte doch gleich nochmal Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 innerhalb weniger Minuten addiert? :-)
Es gibt also im gesamten Theater 1530 Sitzplätze.
Und nun zur zweiten Aufgabe.
Bei dem Versuch, den Sachverhalt zu vereinfachen, hat man leider in der Formulierung den Teufel mit dem Beelzebub ausgetrieben.
Gemeint ist nichts weiter, als dass die erste Stoffschicht den Umfang haben soll, den der Stab hat.
Nachdem eine Schicht aufgewickelt ist, hat sich dann der Durchmesser um 1 mm erhöht. Und der daraus sich ergebende Durchmesser soll nun wieder den Umfang für die darauffolgende Schicht ergeben.
Der Umfang eines Kreises erreichnet sich ja so:
u = pi * d
pi sei einfach mal auf 3,14 gerundet.
Also hat der Stab einen Umfang von
u0 = pi * 0,05 m = 0,157 m
Die gleiche Länge an Stoff wird dann auch in der ersten Schicht aufgewickelt.
Daraus ergibt sich dann für die nächste Schicht ein Durchmesser von 0,051 m und ein Umfang von
u1 = pi * 0,051 m = 0,16014 m
Und immer so weiter...
u2 = pi * 0,052 m = 0,16328 m
u3 = pi * 0,053 m = 0,16642 m
Es ergibt sich also eine Zahlenfolge, deren Glieder jeder "Wicklung" um 0,00314 m anwächst.
un = pi * (0,001*(n-1) + 0,05)
(n-1) weil die erste Wicklung gleich dem Umfang des Stabes war.
Der Stoff ist insgesamt 20 Meter lang und auch irgendwann aufgewickelt. Daher muss aus der Zahlenfolge eine Summenfolge gebildet werden, die die Länge des nach jeder Wicklung insgesamt aufgerollten Stoffes angibt.
sn = u0 + u1 +u2 ... + un
Für diese Summenfolge muss nun auch eine explizite Gleichung aufgestellt werden, aus der man entnehmen kann, welche Länge Stoff nach wieviel Wicklungen aufgerollt ist.
Für drei Wicklungen sähe die Summenfolge ja so aus:
s3 = u0 + u1 + u2
s3 = (pi * 0,05) + (pi * 0,001 + pi * 0,05) + (pi * 0,002 + pi * 0,05)
Wie man leicht sehen kann, wiederholt sich der Summand (pi*0,05) jedes Mal, also taucht er dann in der Summenformel als (n*pi*0,05) auf.
Beim zweiten Teilsummanden, der mit steigendem n stets größer wird, erinnere man sich daran, wie aufeinander folgende Zahlen 1 bis n addiert werden. Siehe Aufgabe 1 :-)
Man erhält dann (n-1+1)*(n/2)*pi*0,001 => n²*pi*0,0005
Somit lautet die explizite Form für die Summenfolge
sn = n²*pi*0,0005 + n*pi*0,05
Nun wissen wir, dass 20 Meter Stoff auf zu rollen sind. Also setzt man einfach ein:
20 = n*pi*0,05 + n²/2*pi*0,001
20 = 0,157n + 0,00157*n²
0 = 0,00157n² + 0,157n -20
0 = n² + 100n - 12739
Man erhält also eine quadratische Gleichung, die es nun zu lösen gilt.
n1 = -50 + WURZEL (2500 + 12739) =73,44
n2 = -50 - WURZEL (2500 + 12739) = -173
n2 als Lösung scheidet aus.
Also müsste bei der 74.Wicklung der Stoff zu Ende gehen.
Und tatsächlich würden 74 Wicklungen genau soviel Stoff brauchen:
s74 = 11,618 + 8,59732 = 20,21
Und der Umfang der 74.Wicklung beträgt:
u74 = pi * (0,001*73 + 0,05) = 0,38622 m
Ja, das war's auch schon.
Ich hoffe, ich habe Klarheit schaffen und vermitteln können :-) |
Tuffi
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Oktober, 2001 - 03:23: |
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Hallo Justin, ich glaube, du hast etwas vergessen bei der Überlegung
"Nachdem eine Schicht aufgewickelt ist, hat sich dann der Durchmesser um 1 mm erhöht."
Die andere Seite der Rolle wird auch noch mal um 1mm dicker, so dass der Durchmesser pro Wicklung insgesamt um 2mm zunimmt.
Mit der Formel n = -(d/s -1)/2 + sqrt([(d/s -1)/2]² + L/(Pi * s))
(s: Stoffdicke, d: Rollendurchmesser, L: Stofflänge, Pi: 3.141..)
von der Seite
www.zahlreich.de/hausaufgaben/messages/25/18916.html#POST66940
habe ich ca. 59 Lagen erhalten.
Und mit der Formel d+2*n*s folgt dann eine Gesamtdicke der Rolle von 168mm oder 0.16m |
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