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Prue
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. September, 2001 - 17:46: | 
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Hi!
Also ich hab da mal eine Frage!
Der Durchmesser einer Kugel ist 4 cm!
AUs dieser Kugel soll man den größt möglichen Zylinder rausschneiden!
ICh bin der MEinung, dass die Größte Länge 7,999... cm ist und der größte radius 0,0000.....1 cm!
ICh brauche die Länge, den radius und das volumen!
danke im vorraus
Prue |
Justin (Justin)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. September, 2001 - 13:18: |
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Hallo,
Mit Deiner Überlegung zum Ergebnis könntest Du glatt Programmierer bei Microsoft werden ;-)
V=pi*r²*h ist das Volumen des Zylinders.
Den Zusammenhang zwischen Radius und Höhe, also ihre Abhängigkeit voneinander, die aus der Begrenzung durch die Kugelform gegeben ist, gilt es nun in eine Formel zu bringen.
Man denke dazu an die Winkelfunktionen zurück, und wie sie mithilfe eines rechtwinkligen Dreiecks innerhalb eines Viertelkreises definiert werden.
Jedenfalls kann von jedem Punkt auf dem Kreis ein Lot auf die X-Achse (l) und die Y-Achse (m) gefällt werden. Der Abstand des Punktes auf dem Kreis zum Mittelpunkt ist immer gleich (=2 cm) und sei k.
k und die X-Achse schließen dabei immer einen Winkel alpha ein.
Und das Verhältnis l/k ist definiert als SINUS von alpha, das Verhältnis m/k als COSINUS von alpha.
Und es gilt stets: k² = l² + m²
Im konkreten Fall heißt dies: 4 = l² + m²
l stellt also die halbe Höhe des Zylinders dar, m den Radius des Zylinders.
Entsprechend sieht nun die Volumenformel für den Zylinder aus:
V=pi*m²*2*l
Das l ersetzt man nun durch m
l = (4 - m²)^(1/2)
Somit erhält man die Volumenformel des Zylinders.
V=pi*m²*2*[(4 - m²)^(1/2)]
Und die gilt es nun abzuleiten, und von der Ableitung die Nullstelle zu finden, um den Radius für das größtmögliche Volumen des Zylinders herauszubekommen.
V'= 4*pi*m*[(4-m²)^(1/2)] - 2*pi*m² / [(4-m²)^(1/2)]
Siehst zwar grausam aus, ist aber alles halb so schlimm :-)
Die Nullstelle dieser Funktion findet sich bei m=1,633.
Und entsprechend ist dann l=1,155.
Dran denken: l ist die Hälfte der Höhe des Zylinders!
Also:
Der größtmögliche Zylinder, den man aus einer Kugel mit 4 cm Durchmesser herausschneiden kann, hat einen Radius von 1,633 cm bzw. einen Durchmesser von 3,266 cm und eine Höhe von 2,31 cm.
Das ergibt ein Volumen von 19,34 cm³
Die Kugel selber hat ein Volumen von 33,51 cm³
Alles klar? :-) |
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