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Wurzel aus 2 keine rationale Zahl?!

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Yvonne (sternmaus87)
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Neues Mitglied
Benutzername: sternmaus87

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Dezember, 2002 - 16:09:   Beitrag drucken

Hi!!

Wie erkläre ich das die Wurzel aus 2 (10) keine rationale Zahl ist???
Wie beweiße ich das Gegenteil bei 4??
Ich hoffe ihr könnt mir helfen!!
Viele Grüße
Sternmaus
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Klaus (kläusle)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: kläusle

Nummer des Beitrags: 185
Registriert: 08-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Dezember, 2002 - 18:20:   Beitrag drucken

Hallo

Angenommen Wurzel 2 sei rational und habe die Darstellung Wurzel 2 = p/q., wobei p und q teilerfremd sind.

Durch Quadrieren beider Seiten ergibt sich
2 = p2/q2 (oder gleichwertig: p2 = 2q2).

Diese Gleichung zeigt, dass p eine ganze Zahl ist, deren Quadrat gerade ist. Das bedeutet jedoch, dass auch p selbst gerade sein muss (da andererseits das Produkt zweier ungerader Zahlen wieder ungerade ist). Folglich darf man p in der Form einer allgemeinen geraden Zahl darstellen, p = 2k. Durch Einsetzen in die obige Gleichung erhält man p2 = (2k)2 = 2q2.

Ausmultipliziert ergibt sich:
4k2 = 2q2 <---> 2k2 = q2

Diese Gleichung zeigt aber, dass auch q eine ganze Zahl ist, deren Quadrat gerade ist. Daher ist q ebenfalls gerade, und das widerspricht der Annahme, dass p und q teilerfremd sin. Damit ist die Behauptung jedoch beweisen.


Ich hoffe, das kann man schon in der Mittelstufe verstehen...

MfG Klaus
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Klaus (kläusle)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: kläusle

Nummer des Beitrags: 187
Registriert: 08-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Dezember, 2002 - 18:20:   Beitrag drucken

Hallo

Angenommen Wurzel 2 sei rational und habe die Darstellung Wurzel 2 = p/q., wobei p und q teilerfremd sind.

Durch Quadrieren beider Seiten ergibt sich
2 = p2/q2 (oder gleichwertig: p2 = 2q2).

Diese Gleichung zeigt, dass p eine ganze Zahl ist, deren Quadrat gerade ist. Das bedeutet jedoch, dass auch p selbst gerade sein muss (da andererseits das Produkt zweier ungerader Zahlen wieder ungerade ist). Folglich darf man p in der Form einer allgemeinen geraden Zahl darstellen, p = 2k. Durch Einsetzen in die obige Gleichung erhält man p2 = (2k)2 = 2q2.

Ausmultipliziert ergibt sich:
4k2 = 2q2 <---> 2k2 = q2

Diese Gleichung zeigt aber, dass auch q eine ganze Zahl ist, deren Quadrat gerade ist. Daher ist q ebenfalls gerade, und das widerspricht der Annahme, dass p und q teilerfremd sin. Damit ist die Behauptung jedoch beweisen.


Ich hoffe, das kann man schon in der Mittelstufe verstehen...

MfG Klaus

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