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Yvonne (sternmaus87)
Neues Mitglied Benutzername: sternmaus87
Nummer des Beitrags: 1 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Dezember, 2002 - 16:09: |
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Hi!! Wie erkläre ich das die Wurzel aus 2 (10) keine rationale Zahl ist??? Wie beweiße ich das Gegenteil bei 4?? Ich hoffe ihr könnt mir helfen!! Viele Grüße Sternmaus |
Klaus (kläusle)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: kläusle
Nummer des Beitrags: 185 Registriert: 08-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Dezember, 2002 - 18:20: |
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Hallo Angenommen Wurzel 2 sei rational und habe die Darstellung Wurzel 2 = p/q., wobei p und q teilerfremd sind. Durch Quadrieren beider Seiten ergibt sich 2 = p2/q2 (oder gleichwertig: p2 = 2q2). Diese Gleichung zeigt, dass p eine ganze Zahl ist, deren Quadrat gerade ist. Das bedeutet jedoch, dass auch p selbst gerade sein muss (da andererseits das Produkt zweier ungerader Zahlen wieder ungerade ist). Folglich darf man p in der Form einer allgemeinen geraden Zahl darstellen, p = 2k. Durch Einsetzen in die obige Gleichung erhält man p2 = (2k)2 = 2q2. Ausmultipliziert ergibt sich: 4k2 = 2q2 <---> 2k2 = q2 Diese Gleichung zeigt aber, dass auch q eine ganze Zahl ist, deren Quadrat gerade ist. Daher ist q ebenfalls gerade, und das widerspricht der Annahme, dass p und q teilerfremd sin. Damit ist die Behauptung jedoch beweisen. Ich hoffe, das kann man schon in der Mittelstufe verstehen... MfG Klaus
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Klaus (kläusle)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: kläusle
Nummer des Beitrags: 187 Registriert: 08-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Dezember, 2002 - 18:20: |
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Hallo Angenommen Wurzel 2 sei rational und habe die Darstellung Wurzel 2 = p/q., wobei p und q teilerfremd sind. Durch Quadrieren beider Seiten ergibt sich 2 = p2/q2 (oder gleichwertig: p2 = 2q2). Diese Gleichung zeigt, dass p eine ganze Zahl ist, deren Quadrat gerade ist. Das bedeutet jedoch, dass auch p selbst gerade sein muss (da andererseits das Produkt zweier ungerader Zahlen wieder ungerade ist). Folglich darf man p in der Form einer allgemeinen geraden Zahl darstellen, p = 2k. Durch Einsetzen in die obige Gleichung erhält man p2 = (2k)2 = 2q2. Ausmultipliziert ergibt sich: 4k2 = 2q2 <---> 2k2 = q2 Diese Gleichung zeigt aber, dass auch q eine ganze Zahl ist, deren Quadrat gerade ist. Daher ist q ebenfalls gerade, und das widerspricht der Annahme, dass p und q teilerfremd sin. Damit ist die Behauptung jedoch beweisen. Ich hoffe, das kann man schon in der Mittelstufe verstehen... MfG Klaus
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