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Beitrag |
    
Dezl
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. September, 2001 - 14:01: | 
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Einem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck ABC mit gegebener Länge a der beiden Kathete AB, AC sind Rechtecke so einzuzeichnen,dass jeweils ein Eckpunkt eines solchen Rechtecks auf der Hypotenuse und zwei Rechteckseiten auf den Katheten des Dreiecks ABC liege.
a) Beweise,dass alle diese Rechtecke den gleichen Umfang u besitzen, nämlich u = 2a.
b)Beweise, dass von allen diesen Rechtecken das unter ihnen enthaltene Quadrat den größten Flächeninhalt besitzt! |
Akka
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. September, 2001 - 20:42: |
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Hallo, Dezl!
Hast Du das Dreieck mit dem Rechteck schon gezeichnet? Das Rechteck liegt so im Dreieck, dass der 90°-Winkel die eine Ecke des Rechtecks bildet. Es werden 2 Dreiecke abgetrennt, von denen Du zeigen kannst, dass sie dem großen Dreieck und einander ähnlich sind. Ähnliche Dreiecke haben gleich große Winkel und ihre Seitenverhältnisse stimmen überein.
Die Übereinstimmung der Winkel kannst Du beweisen: Jedes Dreieck hat einen 90°-Winkel, weil in das Dreieck ein Rechteck einbeschrieben wird. Einer der beiden anderen Winkel ist jeweils der Eckpunkt des ursprünglichen Dreiecks, also 45°. Da die Winkelsumme 180° beträgt, ist der jeweils andere Eckpunkt auch 45° groß.
Daraus folgt, dass jedes der entstandenen Dreiecke gleichschenklig ist. Du kannst die innenliegenden Seiten "umklappen" und auf der Seite a vom großen Dreieck abtragen. Du erhälst in jedem Fall ganz a (wegen der Gleichschenkligkeit) .
Der Umfang des Rechtecks ist also U=2a.
Wenn Du den Beweis für die Schule aufarbeitet, zeichne ein Dreieck, das Rechteck und überlege Dir für alle Winkel und Seiten Namen. Dann hast Du den Beweis schnell aufgeschrieben. Ich weiß leider nicht, wie ich so´n Dreieck hier auf die Seite kriege.
b) Seien x und y die beiden Rechteckseiten, dann ist der Flächeninhalt A = x*y.
Nach dem, was oben gesagt wurde, ist x+y = a. Setze diese Gleichung oben ein:
A = x*(a-x) = ax - x²
Bestimme die Ableitung nach x: A`= a - 2x und setze sie gleich 0, um das Maximum zu bestimmen:
0 = a - 2x. Du erhälst x = a/2, ebenso y = a/2. Das einbeschriebene größte Rechteck ist also ein Quadrat.
Wenn Du noch nicht mit der Ableitung gearbeitet hast, kannst Du auch den Scheitel der Funktion
A(x) = x - 2x bestimmen. Das ist letztlich dasselbe.
Alles klar?
Akka |
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